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HMMT2013
Saturday16February2013
TeamRound
22
ab1|a−b|
1.[10]Letaandbberealnumberssuchthat=.Findallpossiblevaluesof.
a2+b24a2+b2
√
3
Answer:2Thehypothesisstatementisequivalentto
22
a+b=4ab
1:(a+b)2=6ab
2
2:(a−b)=2ab
Multiplyingequations1and2,
2222
(a−b)=12(ab)
22√
|a−b|=±12ab
Sethelefthandsideandabarebothpositive,√
|a−b|=12ab
2√2√
|a−b|12ab12√
223
=
2222==
a+ba+b42
(Itisclearthatsuchaandbexist:
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