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小波变换理论及其在电力系统中的应用

小波变换的基础理论

小波变换主要是用于信号处理。信号处理的任务之一是认识客观世界中存在的信号的本质特征，并找出规律。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”。从不同的角度去认识、分析信号有助于了解信号的本质特征。信号变换就是寻求对信号的另一种表示方法，使得比较复杂的，特征不够明确的信号在变换之后形式变得简单，特征明确。

信号最初是以时间（空间）的形式来表达的。除了时间以外，频率是一种表示信号特征最重要的方式。频率的表示方法是建立在傅里叶分析（FourierAnalysis）基础之上的。由于傅里叶分析是一种全局的变换，要么完全在时间域，要么完全在频率域，因此无法表述信号的时频局部性质，而时频局部性质恰好是非平稳信号最基本和最关键的性质。为了分析和处理非平稳信号，在傅里叶分析理论基础上，提出并发展了一系列新的信号分析理论：短时傅里叶变换或加窗傅里叶变换。

傅立叶变换

长期以来，傅立叶变换是信号处理的一个重要数学工具。特别是对于平稳信号的处理，把周期变化的信号表示成一组具有不同频率的正弦信号叠加。通过傅立叶变换，在时域中连续变化的信号变换到频域中，因此是一种纯频域的分析方法。

傅立叶变换表示为：

X(jw)=ò+?

-?

e-jwtx(t)dt

图1随机信号

图1是一个随机信号，图2是进行了傅立叶变换之后的频谱图。傅立叶谱线是信号频率统计特征，从表达式也可以看出，他是整个时间域内的积分，没有局部分析信号的功能，傅立叶谱图中完全不包含时域信息。也就是说，对于傅立叶谱中的某一频率，不知道这一频率在何时产生，这就是信号分析中面临的一个基本矛盾：时域和频域局部化的矛盾。尤其是对于非平稳信号。

加窗傅立叶变换

图2傅立叶变换频谱图

然而对于突变的，不稳定的信号，我们感兴趣的不止是该信号的频率，尤其关心在不同时间的频率。也就是说要用时间和频率两个信号来刻画该信号，这样显然傅立叶变换是无能为力的。因此出现了加窗傅立叶变换。

时间窗

度幅

时间

假定非平稳信号f(t)在分析窗g（t）一个短时间间隔内是平稳的，移动窗函数，使f(t)*g(t-T)在不同的时间段内是平稳信号，进而分析它的频率特性。其作用相当于在t=T处开了一个窗口，然后对整个时间域内进行傅立叶变换。就相当于透过窗口观察原始信号。然而，加窗傅立叶变换只有一个固定的窗函数，窗函数一旦确定了以后，其形状就不再发生改变，这就大大制约了它在实际信号分析中的应用。

小波变换

实际的信号是由多种频率分量组成的，当信号尖锐变化时，需要一个较短的时间窗为其提供更多的频率信息。而当信号变化平稳时，需要一个长的时间窗用来描述信号的整体行为。这就导致了小波变换的出现，小波分析是傅立叶分析深入分析发展的里程碑。小波变换在非

平稳信号分析中具有独特的优势在于它可以有灵活可变的时频窗口，以适应不同频率分辨率的要求，在时域和频域都具有表征信号局部特征的能力，形象的说小波变换具有“变焦”的功能，因此常被称为“数学显微镜”

小波基函数表示为：

1 x-b

j （x）=

(a,b)

j( )，a,b喂R,a 0

aa

a

小波基函数具有波动的特性，在原点附近的波动明显偏离水平轴，在远离原点的地方函数值将迅速衰减为0，整个波动趋于平稳。

而对于某一信号函数f(t)的小波变换定义为：

(WT

y

)f(a,b)=a1ò

2R

2

t-b

f(t)y( )dta

图3小波基函数变化

通过图3可以看出，改变a可以对小波函数进行伸缩变换，改变b可以实现小波函数的平移。从而实现通过改变系数a,b的大小，使小波函数在整个时间域内完成计算。图4是连续小波变换的示意图。

图4连续小波变换示意图

小波变换的多分辨多尺度分析

多分辨分析原理与人类的视觉方式十分接近，例如我们站在月球上看地球，只能看到地球上大概轮廓和地球上凸出的建筑物（例如中国的万里长城等），这就是高频边缘的提取：当我们站在地球上看地球时，一草一木清晰可辨，然而不能看见整体，这就是低频分析。

小波可以进行多分辨多尺度分析

S

S=A+D=A+D+D=

1 1 2 2 1

图5多分辨分析示意图

将信号在小波基函数上投影，高频部分为D，低频部分A，相当于用滤波器给原始信号滤波，得到高频和低频分量，然后再进一步应用滤波器，得到更精确的信息。最后可以通过小波重构得到原始信号。

S＝A1+D1=A2+D2+D1=……

图6为对一随机信号s进行多分辨分析的示意图。在图中高频部分为d，低频部分a，

对应着相应的细节和整体的概念。最后也