小波分析基础.ppt

一、认识小波(4)将所选择的小波函数尺度伸缩一个单位，然后重复步骤(1)、(2)、(3)，如图所示；(5)对所有的尺度伸缩重复步骤(1)、(2)、(3)、(4)。尺度与频率的关系尺度与频率的关系如下：小尺度a?压缩的小波?快速变换的细节?高频部分大尺度a?拉伸的小波?缓慢变换的粗部?低频部分三、多分辨分析由母小波按如下方式的伸缩平移可构成L2(R)空间的标准正交基如何构造母小波呢？1989年，Mallat和Meyer提出了按多分辨分析的思想来构造母小波，其基本思想是：现构造一个具有特定性质的层层嵌套的闭子空间序列{Vj}j?Z，这个闭子空间序列充满了整个L2(R)空间。在V0子空间找一个函数g(t)，其平移{g(t-k)}k?Z构成V0子空间的Riesz基。对函数g(t)进行正交化，得到函数称为正交尺度函数?(t)。由?(t)计算出小波函数?(t)。1、多分辨分析(MRA)的概念[5](3.1)Riesz基定义令H是Hilbert空间，H中的一个序列{gj}j?Z是Riesz基，如果它满足以下的条件：A和B分别称为Riesz基的上下界，Riesz基又称为稳定基。(3.2)(3.3)定义1空间L2(R)中的多分辨分析是指L2(R)中的满足如下条件的一个子空间序列多分辨空间的关系可用下图来形象地说明。如果{g(t-k)}k?Z是V0的Riesz基，可通过正交化得到V0空间的函数?(t)?V0，使得{?(t-k)}k?Z构成V0空间的规范正交基。由伸缩性和平移不变性可知，{?j,k(t)}j,k?Z构成Vj空间的一个规范正交基。于是(3.4)(3.5)注意：?(t)并不是L2(R)空间的小波函数，而是与其紧密相关的尺度函数，{?j,k(t)}j,k?Z称为尺度基，多分辨空间序列{Vj}j?Z称为尺度空间，在MRA意义下，可由尺度基导出小波基。由MRA的单调性可以看出：Vj是Vj+1的严格子空间，设Wj是Vj关于Vj+1的正交补(子空间)，即(3.6)对于一幅图像，量化级数决定了图像的分辨率，量化级数越高，图像就越清晰，即图像的分辨率高。对于任意一幅图像，都可以用不同的量化空间来表示，细节比较丰富的部分用高分辨率来表示，细节比较单一的部分可用低分辨率来表示。我们可以将不同的量化级数构成的空间看成不同的多分辨空间Vj，显然这些量化空间是相互嵌套的，(3.7)从图像处理的角度，多分辨空间的分解可以理解为图像的分解，假设有一幅256级量化的图像，不妨将它看成量化空间Vj中的图像，则可理解为Vj空间中的图像有一部分保留在Vj-1空间中，还有一部分放在Wj-1空间，如图所示。与尺度函数的产生一样，若存在?(t)?W0，使得{?(t-k)}k?Z构成空间W0的一个规范正交基，则构成L2(R)空间的一个规范正交基。称为小波基，?(t)称为母小波。(3.8)SKIPVjWj-1Vj-1RETURNMRA非常抽象，但是它给出了构造小波的一般框架。在实践中很难通过小波空间直接构造小波，但通过MRA可推导出一个非常重要的关系：双尺度方程，通过求解该方程，使我们有可能求出尺度函数和小波函数。2、双尺度方程由前面的分析，我们知道：(3.9)(3.10)方程(3.9)和(3.10)称为双尺度方程。由?(t)的正交性可得：对双尺度方程两边取傅立叶变换，可得频域上的的双尺度方程：(3.12)(3.11)(3.14)(3.13)(3.16)(3.15)从信号处理的角度，h是与?(t)对应的低通滤波器，g是与?(t)对应的高同滤波器，{h，g}既可以表示为时域上的离散序列形式{hk，gk}k?Z，也可以表示为频域上的2?周期函数{h(?)，g(?)}。两者本质上是一样的。若k0和kN时，hk=0，这样的滤波器称为有限脉冲响应滤波器(FIR)，FIR滤波器具有好的局部化特性。此时，?(t)只在有限区间[0，N]上取值，所以?(t)是紧支的，其支集supp=[0，N]，(3.9)式变为：(3.17)此时?(t)也是紧支的。所以只要滤波器的长度是有限的，我们称对应的小波?(t)是紧支小波。由(3.13)式得：(3.18)(3.19)结论：只要找到满足双尺度方程(3.9)的序列{hk}k?Z，通过公式(3.15)就可以计算出2?周期函数h(?)，再由公式(3.19)就可以计算出，经过傅立叶反变换，最终可得尺度函数?(t)，有了尺度函数就可以计