广东省深圳市深圳外国语学校2024届高三上学期第二次模拟测试数学试题（含答案解析）.docx

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广东省深圳市深圳外国语学校2024届高三上学期第二次模拟测试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设复数在复平面内对应的点关于实轴对称，且，则（）

A．2 B．0 C． D．

2．已知集合，，则

A． B．

C． D．

3．已知，，均为单位向量，且满足，则（????）

A． B． C． D．

4．函数在区间上的图象大致为（????）

A． B．

C． D．

5．已知和分别是数列和的前项和，且满足，，若对，使得成立，则实数的取值范围是（????）

A．或 B．或

C．或 D．或

6．中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，有一种茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至55℃时饮用，可以产生最佳口感．某研究人员在室温下，每隔1min测一次茶水温度，得到数据如下：

放置时间/min

0

1

2

3

4

5

茶水温度/℃

85.00

79.00

73.60

68.74

64.37

60.43

为了描述茶水温度与放置时间的关系，现有以下两种函数模型供选择：

①，②．

选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为（????）

（参考数据：，）

A．6min B．6.5min C．7min D．7.5min

7．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左?右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的两点反射后，分别经过点和，且，，则双曲线的离心率为（????）

A． B． C． D．

8．如图，正四面体ABCD的顶点C在平面α内，且直线BC与平面α所成的角为45°，顶点B在平面α内的射影为O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦值等于()

A． B．

C． D．

二、多选题

9．以下结论正确的是（）

A．根据列联表中的数据计算得出，而，则根据小概率值的独立性检验，认为两个分类变量有关系

B．的值越大，两个事件的相关性就越大

C．在回归分析中，相关指数越大，说明残差平方和越小，回归效果越好

D．在回归直线中，变量时，变量的值一定是15

10．已知角，是锐角三角形的三个内角，下列结论一定成立的有（????）

A． B．

C． D．

11．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，过点作抛物线的切线，则下列说法正确的是（???）

A．的最小值为

B．当时，

C．以线段为直径的圆与直线相切

D．当最小时，切线与准线的交点坐标为

12．已知曲线在点处的切线与曲线相切于点，则下列结论正确的是（）

A．函数有2个零点

B．函数在上单调递增

C．

D．

三、填空题

13．的展开式中的系数为．（用数字作答）

14．已知正项数列的前项积为，且满足，则.

15．在棱长为3的正方体中，点E满足，点F在平面内，则的最小值为．

16．已知不等式对恒成立，则当取最大值时，．

四、解答题

17．在中，内角所对的边分别为，已知，且.

（1）求；

（2）若，求的值.

18．已知点是函数（且）的图象上一点,等比数列的前项和为,数列的首项为,且前项和满足．

(1)求数列和的通项公式；

(2)若数列前项和为,问使得成立的最小正整数是多少？

19．已知矩形的长为2，宽为1.（如图所示）

??

(1)若E为DC的中点，将矩形沿BE折起，使得平面平面，分别求到AB和AD的距离.

(2)在矩形ABCD中，点M是AD的中点、点N是AB的三等分点（靠近A点）.沿折痕MN将翻折成，使平面平面.又点G，H分别在线段NB，CD上，若沿折痕GH将四边形向上翻折，使C与重合，求线段NG的长.

20．一只蚂蚁位于数轴处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为.

(1)已知蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后这只蚂蚁在处的概率；

(2)记蚂蚁4秒后所在位置对应的实数为，求的分布列与期望.

21．已知椭圆：的离心率为，长轴长为4，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)当直线与轴不垂直时，在轴上是否存在一点（异于点），使轴上任意点到直线，的距离均相等？若存在，求点坐标：若不存在，请说明理由.

22．设函数（为自然对数的底数）

(1)求在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；

(2)证明：有且仅有两个零点，且．