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1确界原理非空有上(下)界数集，必有上(下)确界。
2单调有界原理任何单调有界数列必有极限。
3区间套定理若{[a,b]}是一个区间套,则存在唯一一点，使得
nn
[a,b],n1,2,。
nn
4Heine-Borel有限覆盖定理设[a,b]是一个闭区间，为[a,b]上的一个开覆盖，则在
中存在有限个开区间，它构成[a,b]上的一个覆盖。
5Weierstrass聚点定理（Bolzano致密性定理有界无穷数列必有收敛子列。）直线上的有
解无限点集至少有一个聚点。
6Cauchy收敛准则数列{a}收敛对任给的正数，总存在某一个自然数N，使得
n
m,nN时，都有|aman|。
一.确界原理
1.确界原理证明单调有界定理
证不妨设{an}为有上界的递增数列.由确界原理,数列{an}有上确界,记
a=sup{an}.下面证明a就是{an}的极限.事实上,任给ε0,按上确界的定
义,存在数列{an}中某一项aN,使得a-εaN.又由{an}的递增性,当n≥N
时有a-εaN≤an.
另一方面,由于a是{an}的一个上界,故对一切an都有an≤aa+ε.所以当
n≥N时有
a-εana+ε,
这就证得an=a.同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限即为它的下确界.
2.确界原理证明区间套定理
ｎｎ
证明：１设［ａ，ｂ］是一个闭区间套，即满足：
ｎ＋１ｎ＋１ｎｎ
１）?ｎ，［ａ，ｂ］?［ａ，ｂ］；
２）ｂｎ－ａｎ＝
我们证明，存在唯一的实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ＝１，２，?）
存在性：令Ｓ＝｛ａｎ｝，显然，Ｓ非空且有上界（任一ｂｎ都是其上界）.据确界原理，Ｓ
ｎｎ
有上确界，设supＳ＝ξ．现在，我们证明ζ属于每个闭区间［ａ，ｂ］，（ｎ＝１，２，
?）显然
ａｎ≤ξ，（ｎ＝１，２，?）所以，我们只需证明对一切自然数ｎ，都有ξ≤ｂｎ．
事实上，因为对一切自然数ｎ，ｂｎ都是Ｓ的上界，而上确界是上界中最小者，因此必有
ξ≤ｂｎ
，故我们证明了存在一实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ＝１，２，?）
唯一性:假设还有另外一点R且[a,b]，则|||ab|0,
nnnn
即。从而唯一性得证。
3.确界原理证明有限覆盖定理
即闭区间［ａ，ｂ］的任一开覆盖Ｈ都有有限的子覆盖
证①令Ｓ＝｛ｘ｜ａ＜ｘ≤ｂ，［ａ，ｘ］
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