排列组合常见问题的策略.docx

特殊元素和特殊位置优先策略

由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置

先排末位共有___然后排首位共有___最后排其它位置共有___

由分步计数原理得：_________

（位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件）

练习题：7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？

二.相邻元素捆绑策略

例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.

解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有__________________种不同的排法

（要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.）

练习题：某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为（）

三.不相邻问题插空策略

例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？

解：分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法，由分步计数原理,节目的不同顺序共有种

（元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端）

练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（）

四.定序问题倍缩空位插入策略

例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法

解：(倍缩法)

对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：____________

（空位法）

设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有种坐法，则共有种方法

（插入法)

先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法

（定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理）

练习题：10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？

五.重排问题求幂策略

例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法

解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有_____种分法.把第二名实习生分配到车间也有______种分法，依此类推,由分步计数原理共有________种不同的排法

（允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为_____种）

练习题：1.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（）

2.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法（）

六.环排问题线排策略

例6.5人围桌而坐,共有多少种坐法?

解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从此位置把圆形展成直线其余4人共有____种排法即_________

（一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有____________）

练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈

七.多排问题直排策略

例7.8人排成前后两排,每排4人,