线性控制系统的能控性和能观性.ppt

第三章线性控制系统的能控性和能观性§3-1能控性的定义§3-2线性定常系统能控性判别§3-3线性连续定常系统能观性§3-4离散时间系统的能控性与能观性§3-6能控性与能观性的对偶关系§3-7状态空间表达式的能控标准型与能观标准型§3-8线性系统的结构分解§3-9传递函数矩阵的实现问题§3-10传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系1

现代控制理论是建立在用状态空间描述的基础上的。状态方程描述了输入u(t)引起状态x(t)的变化过程；输出方程则描述了由状态变化引起的输出y(t)的变化。在现代控制理论中，能控性和能观性是两个重要的概念，是卡尔曼(Kalman)在1960年首先提出来的，它是最优控制和最优估计的设计基础。能控性和能观性正是分别分析u(t)对状态x(t)的控制能力以及输出y(t)对状态x(t)的反映能力。2

本章将在详细讨论能控性和能观性定义的基础上，介绍有关判别系统能控性和能观性的准则，以及能控性与能观性之间的对偶关系。然后介绍如何通过非奇异变换把能控系统和能观系统的动力学方程化成能控标准型和能观标准型，把不完全能控系统和不完全能观系统的动力学方程进行结构分解。最后在系统结构分解的基础上介绍传递函数的最小实现。3

能控性所考察的只是系统在控制作用u(t)的控制下，状态矢量x(t)的转移情况，与输出y(t)无关，所以只需从系统的状态方程研究出发即可。§3-1能控性的定义4

一、线性连续定常系统的能控性定义线性连续定常系统如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间[t0,tf]内，使系统由某一初始状态x(t0)，转移到指定的任一终端状态x(tf)，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，或简称系统是能控的。5

上述定义可以在二阶系统的状态平面上来说明(如图3-1所示)。假定状态平面中的P点能在输入的作用下被驱动到任一指定状态P1,P2,P3,?,Pn，那么状态平面的p点是能控状态。6

假如能控状态“充满”整个状态空间，即对于任意初始状态都能找到相应的控制输入u(t)，使得在有限的时间区间[t0,tf]内，将状态转移到状态空间的任一指定状态，则该系统称为状态完全能控。可以看出，系统中某一状态的能控和系统的状态完全能控在含义上是不同的。7

2)也可以假定x(t0)=0，而x(tf)为任意终端状态，换句话说，若存在一个无约束控制作用u(t)，在有限时间[t0,tf]能将x(t)由零状态驱动到任意x(tf)。在这种情况下，称为状态的能达性。几点说明:1)在线性定常系统中，为简便计，可以假定初始时刻t0=0，初始状态为x(0)，而任意终端状态就指定为零状态，即在线性定常系统中，能控性与能达性是可以互逆的，即能控系统一定是能达系统，能达系统一定是能控系统。8

3)在讨论能控性问题时，控制作用从理论上说是无约束的，其取值并非唯一的，因为我们关心的只是它能否将x(t0)驱动到x(tf)而不计较x的轨迹如何。9

三、离散时间系统其中u(k)是标量控制作用,在(k,k+1)区间内是个常值。只考虑单输入的n阶线性定常离散系统若存在控制作用序列u(k),u(k+1),?u(l-1)能将第k步的某个状态x(k)在第l步上到达零状态，即：x(l)=0，其中l是大于k的有限数，那么就称此状态是能控的。若系统在第k步上的所有状态x(k)都是能控的，那么此系统是状态完全能控的，称为能控系统。能控性定义为:10

§3-2线性定常系统能控性判别线性定常系统能控性判别准则有两种形式一种是先将系统进行状态变换，把状态方程化为约旦标准型，再根据阵，确定系统的能控性;另一种方法是直接根据状态方程的A阵和B阵，确定其能控性。11

一、具有约旦标准型系统的能控性判别1．单输入系统?1??2??3????n即n个根互异具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为(3-2)(3-1)或12

(m-l)个?1重根,l个?m重根，其余为互异根。13

为简明起见，下面举三个具有上述类型的二阶系统，对能控性加以剖析。(3-3)(3-4)(3-5)14

1)对式(3-3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为(3-6)(3-7)从式(3-7)可知，可以受控制量