曹定华版《微积分》课后习题答案(上).docxVIP

习题1-1

2.用区间表示下列函数的定义域:

(3)要使函数有意义,必须即

所以函数的定义域是-6≤x1,用区间表示就是[-6,1].

8.求下列函数的反函数:

(2)由得,即.

所以函数的反函数为.

习题1-2

1.下列初等函数是由哪些基本初等函数复合而成的?

(1)y=；(2)y=sin3lnx;

(3)y=；(4)y=ln［ln2(ln3x)］.

解(1)令,则,再令,则,因此是由基本初等函数复合而成的.

(4)令,则,再令则,再令,则,再令,则,因此是由基本初等函数

复合而成.

习题2-1

3.利用夹逼定理证明：

(1)=0；(2)=0.

证：（1）因为

而且，，

所以由夹逼定理，得

.

（2）因为，而且，

所以，由夹逼定理得

4.利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.

(1)xn=，n=1,2,…；

(2)x1=,xn+1＝,n=1,2,….

证：（1）略。

习题2-2

2.(1)利用极限的几何意义确定(x2+a),和；

(2)设f(x)=，问常数a为何值时，f(x)存在.

解：（1）因为x无限接近于0时，的值无限接近于a，故.

当x从小于0的方向无限接近于0时，的值无限接近于0，故.

（2）若存在，则，

由（1）知，

所以，当时，存在。

习题2-3

3.指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量.

(1)f(x)=,x→2;(2)f(x)=lnx，x→0+，x→1,x→+∞；

(3)f(x)=,x→0+，x→0-；(4)f(x)=-arctanx,x→+∞;

(5)f(x)=sinx,x→∞;(6)f(x)=，x→∞.

解：（2）从的图像可以看出，，所以，当时，时，是无穷大量；

当时，是无穷小量。

（4），

当时，是无穷小量。

（5）当时，是无穷小量，是有界函数，

是无穷小量。

习题2-4

5.求下列极限：

(1)；(2)；

(3);(4)；

(5).

解：（1）原式=；

（3）

而，

；

（4）；

（5）.

习题2-5

1.;2.;4.;5.;

7.;8.;9.;

10.;11.;12.;

13.;14.;.

解：1.；

2.

；

3.；

4.

；

5.

；

6.；

7.

8.令，则，当时，，

.

9.

（利用了第8题结论）；

10.

；

11.

；

12.

；

习题3-1

3．（1）求曲线上点（2，4）处的切线方程和法线方程；

解：略。

4．下列各题中均假定f′(x0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么：

(3)=A．

解(3)

5．求下列函数的导数：

(1)y=；

解：(1)

9．设函数

f(x)=

为了使函数f(x)在x=1点处连续且可导，a，b应取什么值?

解：为使在处连续，必须，

，

(1)

为了使在处可导，必须

，代入（1）式得

当，时在处连续且可导。

习题3-2

1．求下列函数的导数：

(2)y=lnx;(5)y=tanx+eπ；

解：(2)

(5)

2．求下列函数在给定点处的导数：

(2)f(x)=+,求f′(0)和f′(2);

解：(2)

4．求下列函数的导数：

(2)y=arctanx2；(3)y=

(9)y=;

解：(2);

(3)