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高中数学——导数难题

5.导函数——不等式

1.已知函数f(x)exkx，xR

kef(x)

（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；

k0xRf(x)0k

（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；

n

n1

F(x)f(x)f(x)F(1)F(2)LF(n)(e2)2(nN)

（Ⅲ）设函数，求证：．

分析：本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查

运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想

方法，考查分析问题、解决问题的能力。

xx

kef(x)eexf(x)ee

解：（Ⅰ）由得，所以．

由f(x)0得x1，故f(x)的单调递增区间是(1，)，

由f(x)0得x1，故f(x)的单调递减区间是(，1)．

f(x)f(x)f(x)

（Ⅱ）由可知是偶函数．

于是f(x)0对任意xR成立等价于f(x)0对任意x≥0成立．由

x

f(x)ek0得xlnk．

x

①当k(01]，时，f(x)ek1k≥0(x0)．此时f(x)在[0，)上单调

递增．

故f(x)≥f(0)10，符合题意．

k(1，)lnk0xf(x)，f(x)

②当时，．当变化时的变化情况如下表：

x(0，lnk)lnk(lnk，)



f(x)0

f(x)单调递减极小值单调递增

由此可得，在[0，)上，f(x)≥f(lnk)kklnk．

kklnk0k1，1kek

依题意，，又．综合①，②得，实数的取值范围是

0ke

．

QF(x)f(x)f(x)exex

（Ⅲ），

F(x)F(x