专题5.3 一次函数的应用——方案选择问题（压轴题专项讲练）（浙教版）（解析版）.docxVIP

专题5.3一次函数的应用——方案选择问题

【典例1】为了落实“乡村振兴”政策，A,B两城决定向C,D两乡运送水泥建设美丽乡村，已知A,B两城分别有水泥200吨和300吨，从A城往C,D两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C,D两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现C乡需要水泥240吨，D乡需要水泥260吨．

（1）设从A城运往C乡的水泥x吨．设总运费为y元，写出y与x的函数关系式并求出最少总运费．

（2）为了更好地支援乡村建设，A城运往C乡的运费每吨减少a(0a7)元，这时A城运往C乡的水泥多少吨时总运费最少？

【思路点拨】

（1）先求出x的取值范围，在求出y与x的函数解析式，最后根据一次函数的性质，求出最小值；

（2）先列出A城运往C乡的运费每吨减少a(0a7)元时，总费w用关于x的函数关系式，再分类讨论，分别求出最小值．

【解题过程】

解：（1）设从A城运往C乡肥料x吨，则运往D乡200-x，

从B城运往C乡肥料240-x吨，则运往D乡60+x吨，

设总运费为y元，根据题意，

则：y=20x+25200-x

=4x+100400≤x≤200

∵k=40,y随x的增大而增大，

∴当x=0时，总运费最少，且最少的总运费为10040元．

答：y与x的函数关系式为y=4x+100400≤x≤200

最少总运费为10040元；

（2）设减少运费后，总运费为w元，

则：w=

=

∵0a7，

∴分以下三种情况进行讨论：

①当0a4时，4-a0，

此时w随x的增大而增大，

∴当x=0时，w最小

②当a=4时，w=10040，

∴不管怎样调运，费用一样多，均为10040元；

③当4a7时，4-a0，

此时w随x的增大而减小，

∴当x=200时，w最小

∴综上可得：

当0a4时，A城运往C乡0吨，总运费最少；

当a=4时，无论从A城运往C乡多少吨肥料（不超过200吨），总运费都是10040元；

当4a7时，A城运往C乡200吨，总运费最少．

1．（2023春·四川达州·八年级校考期末）某快递公司为了提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运20吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物460吨．

（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别微运货物多少吨？

（2）每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800吨，请根据以上要求，求出A、B两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低﹖最低费用是多少？

【思路点拨】

（1）设每台A型机器人每天分别微运货物x吨，每台B型机器人每天分别微运货物y吨，根据“每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运20吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物460吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设购买m台A型机器人，则购买（20-m）台B型机器人，根据这些机器人每天搬运的货物不低于1800吨，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设该公司计划采购A、B两种型号的机器人所需费用为w万元，根据总价=单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．

【解题过程】

解：（1）设每台A型机器人每天分别微运货物x吨，每台B型机器人每天分别微运货物y吨，根据题意得：

x-y=203x+2y=460

解得：x=100y=80

答：每台A型机器人每天分别微运货物100吨，每台B型机器人每天分别微运货物80吨．

（2）设购买m台A型机器人，则购买（20-m）台B型机器人，根据题意得：

100m+80（20-m）≥1800，

解得：m≥10．

设该公司计划采购A、B两种型号的机器人所需费用为w万元，则w=3m+2（20-m）=m+40，

∵k=1＞0，

∴w随m的增大而增大，

∴当m=10时，w有最小值，且最小值为w=10+40=50（万元），

此时20-m=10．

所以，购买10台A型机器人，10台B型机器人时，所需费用最低，最低费用为50万元．

2．（2023春·八年级课时练习）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需7万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需12万元．

（1）甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元？

（2）已知1台甲型和1台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是1400件和1200件，该公司计划最多用16万元购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每小时的分拣量最大？

【思路点拨】

（1）设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万