第十三讲 特殊平行四边形-菱形（含答案析）（八年级数学下册专题分类考点培优（北师大版））.docx

第十三讲特殊平行四边形--菱形

目录

TOC\o1-1\h\u必备知识点 1

考点一菱形的判定与性质 2

考点二菱形的存在性 15

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必备知识点

一、菱形的性质与判定

定义

示例剖析

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

性质

示例剖析

菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质．

①对边平行且四边都相等；

②邻角互补，对角相等；

③对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组

对角；

④是中心对称图形、轴对称图形．

除平行四边形性质外：①AB=BC=CD=AD；

②AC⊥BD且AC、BD分别为、的角平分线．

①菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．

②推广：对角线互相垂直的四边形，其面积就等于对角线乘积的一半．（注：不能直接使用）

①

②

判定

①一组邻边相等的平行四边形是菱形．②对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

③四边相等的四边形是菱形．

考点一菱形的判定与性质

1．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的面积为24，OA＝3，则OE的长等于．

【解答】解：∵菱形的对角线、BD交于点O，OA＝3，

∴AC＝2AO＝6，

∵菱形ABCD的面积为24，

∴×6×BD＝24，

∴BD＝8，DO＝4，

又∵AC⊥BD，

∴AD＝＝＝5，

又∵E为AD边中点，

∴OE＝AD＝，

故答案为：．

2．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，AH交OB于点E，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OE的长为2.25．

【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB＝4，

∴BD＝8，

又∵S菱形ABCD＝24，

∴BD×AC＝24，

∴AC＝6，CO＝3，

∴Rt△BCO中，BC＝5，

又∵AH⊥BC，

∴BC×AH＝24，

∴AH＝4.8，

∴Rt△ABH中，BH＝＝＝1.4，

∵∠EBH＝∠CBO，∠BHE＝∠BOC＝90°，

∴△BEH∽△BCO，

∴＝，即＝，

∴BE＝1.75，

∴EO＝BO﹣BE＝4﹣1.75＝2.25，

故答案为：2.25．

3．如图，在菱形ABCD中，对角线BD、AC交于点O，AC＝6，BD＝4，∠CBE是菱形ABCD的外角，点G是∠CBE的角平分线BF上任意一点，连接AG、CG，则△AGC的面积等于（）

A．6 B．9 C．12 D．无法确定

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，BO＝DO＝2，∠CAB＝∠DAB，AD∥BC，

∴∠DAB＝∠CBE，

∵BG平分∠CBE，

∴∠GBE＝∠CBE，

∴∠CAB＝∠GBE，

∴AC∥BG，

∴S△ABC＝S△AGC＝×AC×BO＝×6×2＝6，

故选：A．

4．已知边长为2cm的菱形AFEO，∠AFE＝120°，过点O作两条夹角为60°的射线，分别交边AF，边FE于点M，N，连接MN，则下列命题正确的是（）

①S四边形OMFN＝cm2；

②MN的长度为定值；

③△OMN的形状为等边三角形；

④的最小值为3．

A．①③ B．①②③④ C．③④ D．①③④

【解答】解：连接OF，如图所示：

∵四边形AFEO是菱形，

∴∠AFE＝120°，OA＝AF，∠A＝60°，∠OFN＝∠AFE＝60°，

∴△AOF是等边三角形，

∴OF＝OA，∠AOF＝60°，

∵∠MON＝60°，

∴∠AOM＝∠FON，

在△AOM和△FON中，，

∴△AOM≌△FON（ASA），

∴OM＝ON，

∴△OMN是等边三角形，②不正确，③正确，△AOM的面积＝△FON的面积，

∴S四边形OMFN＝△AOF的面积＝×2×＝（cm2），①正确，

当OM⊥AF时，OM最小，等边△OMN的面积最小＝××＝，

∴△FMN的面积＝﹣＝，

∴＝3，④正确；

故选：D．

5．如图，已知菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E、F分别是AB、AD上两个动点，若AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG，

（1）求∠BGE的大小；

（2）求证：GC平分∠BGD．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形

∴AD＝AB，∠BAD＝60°

∴△ADB是等边三角形

∴AD＝AB＝BD，∠DAB＝∠ADB＝∠ABD

∵AE＝DF，∠DAB＝∠ADB＝60°，AD＝BD

∴△ADE≌△DBF（SAS）

∴∠ADE＝∠DBF

又∠BGE＝∠BDE+∠DBF

＝∠BDE+∠ADE＝∠ADB

∴∠BGE＝∠ADB＝60°

（2）如图，过点C作CN⊥