高中：【导数】以切线为背景的新颖双变量.docx

2024年高考数学一日一法

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以切线为背景的新颖双变量

该题选自前几天考的2024届高三湖北十一校第一次联考导数压轴，是一道以切线为背景的双变量问题，不算太难但是比较新颖，所以这一期来分享一下，下面采用两种消元思路来解答

【24届高三湖北十一校一联T22】已知函数fx=lnmx，m是大于0的常数.记曲线y=fx在点x1,fx

（1）当x1=1e，

（2）证明：x

解析：

（1）f

所以切线l的方程为y

即y=1x

令y=0

当x1=1e，m

（2）由x2

∵m

x2

令g

g′x=?lnmx

当x∈0,1m

当x∈1m,e

∴

所以当0x

∴

法1：代入消元

（利用（1）中的x2

①当0x

x

∵0x1≤

∴

②当1m

x

令?x=

?′

当x∈1

∴?

∴?

∴

综上，x

法2：比值消元

只针对②当1m

此时0

则0

x

只需证m

又由x2=x1

m

故只需证

1

令t=x

只需证ln

令g

g

所以gt在0,

∴

下面再分享几道11月份模考的经典双变量压轴

11月份有很多地方都在进行期中检测或者一模，比如24届湖北重点中学一联、杭州一模、绍兴一模、温州一模、盐城期中、金华十校11月模考、江淮十校二联、清华中学生标准学术能力11月诊断等等。在这些模考卷的导数压轴中，我们可以看到有很多还是双变量甚至是多变量问题，比如极点和差问题、偏移问题、零点和差拟合问题等等（原题如下）。这也表现了双（多）变量问题出题命题形式灵活多样，因此在未来模考中双（多）变量问题依然是导数压轴的主流！同学们在复习中依然需要多加留意和练习这种题型。

【24届湖北重点中学一联T21】已知函数fx

（1）讨论函数fx

（2）设x1,x2（0x1

解析：

（1）（详解略）

当a≤0时，fx在0

当0a1时，fx在0

当a=1时，fx

当a1时，fx在0,1

（2）gx=fx+

g

若gx有两个极值点，x1,

则方程ax2?ax

且由韦达定理可得

x

因为0x1x

所以

g

设?t=ln

令?′t

又2a?1a=2?

即?t的最大值为

而2ln2?2

?

从而gx

【24届杭州一模T22】已知a∈R，函数fx

（1）当fx与gx都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数

（2）若fx1=fx

解析：

（1）a=

（2）令1xi=

所以证明1x1+

因为

a

所以t

即证t1

有对数均值不等式，显然成立。

【24届盐城期中T22】已知fx

（1）求函数gx

（2）设fx1=fx

解析：

（1）最大值为0（详解略）

（2）如下图1，做切割线拟合即可，

x

图1

【24届江淮十校二联T22】已知函数fx=ln

（1）若fx≤2

（2）若函数fx有两个零点x1,x2

解析：

（1）[?1

（2）由题意得（关注公众号：Hi数学派）

ln

两式相加及相减得

a

因为3x1x

则由1式可得

ln

设g

求导得

g

设?

求导得?

所以函数?t在3

所以?

于是g′t0，函数

所以gtg3

因此lnx1

于是x

【24届清华11月诊断T22】已知函数fx

（1）当函数y=fx?ax

（2）当a取条件（1）下的取值时，设函数y=fx?a有3

解析：

（1）实数a的取值范围为?1

（2）由已知可知x?1lnx

不妨设x

显然?2x1

当x1时，令

∴g

g′x在1,+∞

所以gx在1,1

∴

∵

∴

只需证x3

令（关注公众号：Hi数学派）

?

?

所以?x在1

∴

所以

?

又?x2?

∴

又显然有gx

∴

∴