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2024届江西省赣州市四校协作体高三数学第一学期期末综合测试试题
考生须知:
1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设为虚数单位,则复数在复平面内对应的点位于()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知变量的几组取值如下表:
1
2
3
4
7
若与线性相关,且,则实数()
A. B. C. D.
3.函数与在上最多有n个交点,交点分别为(,……,n),则()
A.7 B.8 C.9 D.10
4.已知向量,,则向量在向量上的投影是()
A. B. C. D.
5.根据党中央关于“精准”脱贫的要求,我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研,每个县区至少派一位专家,则甲,乙两位专家派遣至同一县区的概率为()
A. B. C. D.
6.如图,圆的半径为,,是圆上的定点,,是圆上的动点,点关于直线的对称点为,角的始边为射线,终边为射线,将表示为的函数,则在上的图像大致为()
A. B. C. D.
7.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称,旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系,共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来,“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年,我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图,下列描述错误的是()
A.这五年,出口总额之和比进口总额之和大
B.这五年,2015年出口额最少
C.这五年,2019年进口增速最快
D.这五年,出口增速前四年逐年下降
8.已知是虚数单位,则复数()
A. B. C.2 D.
9.已知复数z=(1+2i)(1+ai)(a∈R),若z∈R,则实数a=()
A. B. C.2 D.﹣2
10.已知双曲线与双曲线有相同的渐近线,则双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
11.已知集合(),若集合,且对任意的,存在使得,其中,,则称集合A为集合M的基底.下列集合中能作为集合的基底的是()
A. B. C. D.
12.已知,,且是的充分不必要条件,则的取值范围是()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知椭圆,,若椭圆上存在点使得为等边三角形(为原点),则椭圆的离心率为_________.
14.我国古代数学著作《九章算术》中记载“今有人共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何?”设人数、物价分别为、,满足,则_____,_____.
15.已知抛物线的焦点为,斜率为的直线过且与抛物线交于两点,为坐标原点,若在第一象限,那么_______________.
16.如图,在矩形中,,是的中点,将,分别沿折起,使得平面平面,平面平面,则所得几何体的外接球的体积为__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)曲线在点处的切线斜率为.
(i)求;
(ii)若,求整数的最大值.
18.(12分)已知函数.
(1)求证:当时,;
(2)若对任意存在和使成立,求实数的最小值.
19.(12分)已知是各项都为正数的数列,其前项和为,且为与的等差中项.
(1)求证:数列为等差数列;
(2)设,求的前100项和.
20.(12分)△的内角的对边分别为,且.
(1)求角的大小
(2)若,△的面积,求△的周长.
21.(12分)设为抛物线的焦点,,为抛物线上的两个动点,为坐标原点.
(Ⅰ)若点在线段上,求的最小值;
(Ⅱ)当时,求点纵坐标的取值范围.
22.(10分)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,且过点.
求椭圆的方程;
已知是椭圆的内接三角形,
①若点为椭圆的上顶点,原点为的垂心,求线段的长;
②若原点为的重心,求原点到直线距离的最小值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
利用复数的除法运算化简,求得对应的坐标,由此判断对应点所在象限.
【详解】
,对应的点的坐标为,位于第一象限.
故选:A.
【点睛】
本小题主要考查复数除法运算,考查复数对应点所在象限,属于基础题.
2、B
【解析】
求出,
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