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2024届江西省南昌市新建二中高三数学第一学期期末经典试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设为的两个零点,且的最小值为1,则()
A. B. C. D.
2.已知将函数(,)的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,若和的图象都关于对称,则下述四个结论:
①②③④点为函数的一个对称中心
其中所有正确结论的编号是()
A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④
3.3本不同的语文书,2本不同的数学书,从中任意取出2本,取出的书恰好都是数学书的概率是()
A. B. C. D.
4.已知命题,,则是()
A., B.,.
C., D.,.
5.设函数的定义域为,命题:,的否定是()
A., B.,
C., D.,
6.已知复数z1=3+4i,z2=a+i,且z1是实数,则实数a等于()
A. B. C.- D.-
7.执行如图所示的程序框图,若输出的,则输入的整数的最大值为()
A.7 B.15 C.31 D.63
8.已知复数满足,则=()
A. B.
C. D.
9.设为自然对数的底数,函数,若,则()
A. B. C. D.
10.函数的图象与函数的图象的交点横坐标的和为()
A. B. C. D.
11.若函数在处有极值,则在区间上的最大值为()
A. B.2 C.1 D.3
12.若,,,则()
A. B.
C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.抛物线的焦点到准线的距离为.
14.已知,圆,直线PM,PN分别与圆O相切,切点为M,N,若,则的最小值为________.
15.已知的展开式中项的系数与项的系数分别为135与,则展开式所有项系数之和为______.
16.已知,则展开式的系数为__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)如图所示,三棱柱中,平面,点,分别在线段,上,且,,是线段的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)若,,,求直线与平面所成角的正弦值.
18.(12分)某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验,并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据,且作了一定的数据处理(如表),得到了散点图(如图).
表中,.
(1)根据散点图判断,与哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型?(不必说明理由)
(2)根据判断结果和表中数据,建立y关于x的回归方程;
(3)若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比,那么x为多少时,烧开一壶水最省煤气?
附:对于一组数据,,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.
19.(12分)已知函数,.
(1)求函数的极值;
(2)当时,求证:.
20.(12分)在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中.若问题中的正整数存在,求的值;若不存在,说明理由.
设正数等比数列的前项和为,是等差数列,__________,,,,是否存在正整数,使得成立?
21.(12分)已知椭圆的短轴的两个端点分别为、,焦距为.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线与椭圆有两个不同的交点、,设为直线上一点,且直线、的斜率的积为.证明:点在轴上.
22.(10分)如图1,四边形是边长为2的菱形,,为的中点,以为折痕将折起到的位置,使得平面平面,如图2.
(1)证明:平面平面;
(2)求点到平面的距离.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
先化简已知得,再根据题意得出f(x)的最小值正周期T为1×2,再求出ω的值.
【详解】
由题得,
设x1,x2为f(x)=2sin(ωx﹣)(ω>0)的两个零点,且的最小值为1,
∴=1,解得T=2;
∴=2,
解得ω=π.
故选A.
【点睛】
本题考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质的应用问题,是基础题.
2、B
【解析】
首先根据三角函数的平移规则表示出,再根据对称性求出、,即可求出的解析式,从而验证可得;
【详解】
解:由题意
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