太原理工大学线性代数试题及答案(二).doc

一．判断题〔正确打√，错误打×〕

1.假设都是的解，那么是的一个解.(√)

解答：因为都是的解，所以，.

于是,所以是的一个解.

注:设都是的解，为任意常数，那么

当时，是的解；

当时，是的解.

2.方程组根底解系的个数等于.(×)

解答：正确定义：方程组根底解系所含解向量的个数等于

.

3.假设方程组有非零解，那么方程组必有无穷多解.(×)

解答：正确命题：假设方程组有非零解，那么当方程组有解时，必有无穷多解.

反例：方程组有非零解，但方程组无解.

4.与为同解方程组.(√)

解答：设为的解，那么，于是，所以也是的解；反之,如果为的解,那么,记，于是

，

所以，所以，所以也是的解，所以

与为同解方程组.

注:此题也说明.

5.方程组有无穷多个解的充分必要条件是至少有两个不同的解.(√)

解答：方法一如果方程组有无穷多个解，显然至少有两个不同的解.反之,如果方程组至少有两个不同的解,那么,并且都是的解,其中为任意常数,所以有无穷多个解,而有解,所以有无穷多个解.

方法二非齐次方程组的解只有三种情形：无解、唯一解、无穷多解，所以有无穷多解的充分必要条件是至少有两个不同的解.

二.单项选择题

1.设为阶方阵，且，是的两个不同的解向量，为任意常数，那么的通解为(C).

〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕.

解答：因为为阶方阵,,所以的根底解系含

个解向量.而是的线性无关解,所以的通解为.

注意：(D)错误的原因是假设，那么，不能做根底解系.

2.当(D)时，齐次线性方程组一定有非零解.

〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕.

解答：如果,,所以存在非零解.

3.方程组的系数矩阵记为，假设存在三阶方阵，使得，那么(A).

〔A〕且；〔B〕且；

〔C〕且；〔D〕且.

解答：记,因为,所以,即

都是的解,而,至少存在一个,所以

存在非零解,所以系数行列式

,

所以,此时的系数矩阵为,,所以的根底解系含个解向量，所以线性相关，所以.〔或者，假设那么存在，由可得,矛盾！〕

注：意味着矩阵的列向量都是方程组的解向量.

4.设为阶奇异方阵，中有一元素的代数余子式，那么方程组的根底解系所含向量个数为(B).

〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕.

解答：因为为奇异方阵，所以，又因为,中有一元素的代数余子式，即中存在非零的阶子式，所以,所以方程组的根底解系所含向量个数为.

5.设是的三个解向量，，，

，为任意常数，那么的通解为(C).

〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕

解答：显然方程组有解，并且，所以．因此只要求出的一个非零解即可得到的通解．而,并且,所以的通解为,应选〔C〕．

6.〔2023考研题〕设为矩阵，是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意常数，那么的通解为(C).

〔A〕；〔B〕；

〔C〕；〔D〕.

解答：由是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，知是的根底解系，是的特解，所以选〔C〕．

三．填空题

1.设四阶方阵且，那么方程组的一个解向量为.

解答：因为，所以方程组的一个解向量为．

2.方程的通解为.

解答：因为系数矩阵,所以，，因此，显然是的一个特解，所以的通解为

．

或者简单地：方程的通解为

，

其中为任意实数．

3.设方程组有解，那么其增广矩阵的行列式=0.

解答：因为方程组有解，所以，

所以．或者因为方程组有解，所以向量可由

的列向量线性表示，所以．

4.是3阶矩阵，，假设的每行元素和都是零,那么方程组的通解为．

解答：因为是3阶矩阵，,所以．又因为的每行元素和都是零,所以,于是方程组的通解为．

5.方程组无解，那么-1.

解答：由于

所以当

时方程组有唯一解；

1.求齐次线性方程组的一个根底解系.

解答：方程组的系数矩阵

，

所以所以一个根底解系为，.

．

解答：因为

所以,故方程组只有零解.

3.求方程组与的非零公共解.

解答：构造方程组，因为方程组系数矩阵

，

所以两个方程组的非零公共解，其中.

4.解矩阵方程.

解答：设，由得到两个方程组

及，

注意到两个方程组的系数矩阵一样，所以记

，

所以

的通解为；

的通解为.

所以，其中是任意常数.

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