(典型题)2014高考数学二轮复习-知识点总结-函数、基本初等函数的图象与性质.docVIP

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函数、基本初等函数的图象与性质

1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择题的形式出现在最后一题，且常与新定义问题相结合，难度较大．

1．函数的概念及其表示

两个函数只有当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．

2．函数的性质

(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．

(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．

(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|.

3．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质

(1)指数函数y＝ax(a0，a≠1)与对数函数y＝logax(a0，a≠1)的图象和性质，分0a1，a1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．

(2)幂函数y＝xα的图象和性质，分幂指数α0，α0两种情况．

4．熟记对数式的五个运算公式

loga(MN)＝logaM＋logaN；logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM；alogaN＝N；logaN＝eq\f(logbN,logba)(a0且a≠1，b0且b≠1，M0，N0)．

提醒：logaM－logaN≠loga(M－N)，

logaM＋logaN≠loga(M＋N)．

5．与周期函数有关的结论

(1)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T＝|a－b|.

(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T＝2a

(3)若f(x＋a)＝eq\f(1,f?x?)或f(x＋a)＝－eq\f(1,f?x?)，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T＝2a.

提醒：若f(x＋a)＝f(－x＋b)(a≠b)，则函数f(x)关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称.

考点一函数及其表示

例1(1)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝eq\f(f?2x?,lnx)的定义域是()

A．[0,1] B．[0,1)

C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)

答案D

解析由函数y＝f(x)的定义域是[0,2]得，函数g(x)有意义的条件为0≤2x≤2且x0，x≠1，故x∈(0,1)．

(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3x，x0,2x，x≤0))，则f(f(eq\f(1,9)))等于()

A．4 B.eq\f(1,4)

C．－4 D．－eq\f(1,4)

答案B

解析因为eq\f(1,9)0，所以f(eq\f(1,9))＝log3eq\f(1,9)＝－2，

故f(－2)＝2－2＝eq\f(1,4).

(1)求函数定义域的类型和相应方法

①若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可，函数f(g(x))的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出．

②实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义．

(2)求函数值时应注意

形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则；而对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．

(1)若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≥4，,f?x＋3?，x4，))则f(log23)等于 ()

A．3 B．4 C．16 D．24

(2)已知函数f(x)＝2＋log3x(1≤x≤9)，则函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值为()

A．33 B．22 C．13 D．6

答案(1)D(2)C

解析(1)f(log23)＝f(log23＋3)

＝f(log224)＝2log224＝24.

(2)依题意得，y＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2

＝logeq\o\al(2,3)x＋6lo