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应用数理统计杨虎第四章习题及答案.

第四章习题及答案

习题1：

某品种鸡的体重$X$（kg）服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$，已知这批鸡的体重平均值为2kg，方差为0.25kg。为了估计该品种鸡的体重总体方差$\sigma^2$，随机抽取了10只鸡，测得其体重如下：

\begin{align*}

X_1=2.05,X_2=1.95,X_3=2.12,\\

X_4=1.92,X_5=1.98,X_6=1.99,\\

X_7=2.01,X_8=2.03,X_9=2.09,\\

X_{10}=1.97.

\end{align*}

试构造95%置信度的点估计。

解答：

由于样本容量$n=10$，符合$t$分布的样本容量应该比较大，这里采用正态分布的方法进行计算。

（1）计算样本均值$\bar{X}$

\begin{align*}

\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\\

=\frac{2.05+1.95+2.12+1.92+1.98+1.99+2.01+2.03+2.09+1.97}{10}\\

=1.999.

\end{align*}

（2）计算样本方差$S^2$

\begin{align*}

S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2\\

=\frac{(2.05-1.999)^2+(1.95-1.999)^2+(2.12-1.999)^2+(1.92-1.999)^2}{9}\\

\quad+\frac{(1.98-1.999)^2+(1.99-1.999)^2+(2.01-1.999)^2}{9}\\

\quad+(2.03-1.999)^2+(2.09-1.999)^2+(1.97-1.999)^2\\

=0.0127.

\end{align*}

（3）计算置信区间

由于样本量较小，使用$t$分布表查找置信区间。

在自由度为$n-1=9$和$\alpha=0.05$的情况下，查表得到$t=2.262$。

计算置信区间上下限：

\begin{align*}

\text{上限}=\bar{X}+\frac{t\cdotS}{\sqrt{n}}\\

=1.999+\frac{2.262\cdot\sqrt{0.0127}}{\sqrt{10}}\\

\approx2.052,\\

\text{下限}=\bar{X}-\frac{t\cdotS}{\sqrt{n}}\\

=1.999-\frac{2.262\cdot\sqrt{0.0127}}{\sqrt{10}}\\

\approx1.946.

\end{align*}

因此，该品种鸡的体重总体方差$\sigma^2$的95%置信度的点估计是$\left(1.946,2.052\right)$。

习题2：

有子母平均速度的测定数据如下，试比较离群值对于总体均值的估计的影响。

\begin{align*}

x_1=14.2,x_2=14.5,x_3=14.7,\\

x_4=14.8,x_5=14.3,x_6=36.9.

\end{align*}

已知总体方差$\sigma^2=3.0$。

解答：

在样本数据中，$x_6=36.9$为离群值，可能会对总体均值的估计产生影响。下面进行对比。

（1）排除离群值后的样本均值：

样本数据排除离群值后为$x_1=14.2,x_2=14.5,x_3=14.7,x_4=14.8,x_5=14.3$，计算样本均值如下：

\begin{align*}

\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\\

=\frac{14.2+14.5+14.7+14.8+14.3}{5}\\

=14.5.

\end{align*}

（2）包含离群值的样本均值：

计算整个样本的均值如下：

\begin{align*}

\bar{X^\prime}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\\

=\frac{14.2+14.5+14.7+14.8+14.3+36.9}{6}\\

=17.0667.

\end{align*}

可以发现，排除离群值后的样本均值$\bar{X}=14.5$较为接近总体均值，而包含离群值的样本均值$\bar{X^\prime}=17.0667$明显偏离总体均值。

因此，离群值对于总体均值的估计产生了较大的影响。

习题3：

某城市住房地价每平方米的变异系数为0.20，若