信号时频分析讲义1 - matlab.docxVIP

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信号时频分析讲义给出x(t)a2W(a,b;)(t)dadb(3-26)利用Parseval公式和F在小波函数的相空间中，即使每个分辨基元的宽度(

信号时频分析讲义给出x(t)a2W(a,b;)(t)dadb(3-26)利用Parseval公式和F

在小波函数的相空间中，即使每个分辨基元的宽度(确定了时域分辨率)和高度(确定了频域分辨率)在各处不一

Morlet小波是最常用的复值小波，由下式给出其Fourier变换为当≥5时，e(t)1/4(ej0

是不变的。对于所有的x(t)，(t)L2(R)，x(t)的连续小波变换的逆变换可由下式数字信号处理-

x(t)x()ejtd

从Fourier分析到小波分析

1Fourier分析

所有客观存在的事物都包含着大量标志其本身所存的时间空间特征的数据，这就是该事物的信息。当人们要了解事物某方面的情况时，通常要以各种手段把所需的信息表达出来，供人们观测和分析，这种对信息的表达形式称之为“信号”，所以信号是信息的载体。信号是无处不在的。如我们随时可听到的语音信号，随时可看到的视频图像信号，发电机组运行时的温度信号和振动信号等。

对一个给定的信号或过程，如x(t)，我们可以用众多的方法来描述它，如x(t)的函数表达式，通过Fourier变换所得到的x(t)的频谱，即x()，再如x(t)的相关函数，其能量谱或功率谱等。在这些众多的描述方法中，有两个最基本的物理量，即时间和频率。Fourier变换和反Fourier变换作为桥梁建立了信号x(t)与其频谱x()之间的一对一映射关系，从时域到频域

的映射关系为Fourier变换：

x()x(t)ejtdt

反过来，从频域到时域的映射关系为反Fourier变换：

1

2

(1-1)

(1-2)

Fourier变换的本质思想是用一些简单的基本函数的加权和来近似和表示一个复杂的函数，这样的近似和表示有很多优点，它给我们分析和认识复杂现象提供了一种有效的途径，一些在时域内难以观察的现象和规律，在频域内往往能十分清楚地显示出来。

Fourier变换和反Fourier变换属于整体或全局变换，即只能从整体信号的时域表示得到其频谱，或者只能从整体信号的频域表示得到信号的时域表示。也就是说频谱x()的任一频点值都是由时间过程x(t)在整个时域(-,)上的贡献所决定；反之，过程x(t)在某一时刻的状态也是由其频谱

x()在整个频域(-,)上的贡献所决定。也就是说，x(t)在任何时刻的微

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率分量即使有较大的绝对频率误差，仍可以使相应的相对误差保持不变；对于慢变信号或低频成份，频域窗口g就2ω3ω4ω

率分量即使有较大的绝对频率误差，仍可以使相应的相对误差保持不变；对于慢变信号或低频成份，频域窗口g就

2ω3ω4ω5ω6ω7ω8ω图2.11短时Fourier变换的滤波特性图2.12则给出了小波变换的相

数字信号处理-信号时频分析讲义变换将没有任何意义。在实际计算中也可以根据信号的截止频率f(2f≤fs

测不准原理在时频变换中的表现，它表明存在一定的制约关系，两者不可能同时都任意小。当且仅当(2-16)

(a)|x(

图2.2信号x1(t)和x2(t)的频谱

小变化都会牵动整个频谱，而任何有限频段上的信息都不足确定任意小时间范围内的过程x(t)。因此，Fourier变换建立的只是一个域到另一个域的桥梁，并没有把时域和频域组合在一起，所以频谱x()只是显示了信号x(t)中各频率分量的振幅和相位，而无法表现信号各频率分量随时间变换的关

系。

t/st/s

(a)x1(t)(b)x2(t)

图2.1信号x1(t)和x2(t)

图2.1中的两个信号x1(t)、x2(t)可很好地说明Fourier变换的局限性，

它们的时域表示如下：

x

1

x(t)

2

(t)sin(6t)sin(12t)2sin(6t)sin(12t)sin(12t)2sin(18t)

sin(18t)0≤t≤4s

0t2s

2t4s

(1-3)

(1-4)

这两个信号都是由三种频率分量组成，但它们的持续过程是不一样的，在x1(t)中，三种分量一直存在；而在x2(t)中，只有一个分量一直存在，另

两个只是分别占信号整个过程的前一半和后一半。

f/Hz