2020考研数学三真题及答案.doc

2020考研数学三真题及答案

一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个

选项是符合题目要求的．

设limf(x)?a?b

，则limsinf(x)?sina?( )

x?a

x?a

x?a

x?a

bsina

bcosa

bsinf(a)

bcosf(a)

【答案】B

【解析】

limsinf(x)?sina?limsinf(x)?sina?f(x)?a?cosf(x)

?b?bcosf(a)

x?a

x?a

x?a

f(x)?a x?a

x?a

设f(x)?u，则limsinf(x)?sina=lim

sinu?sina?cosu

?cosf(a)

x?a

f(x)?a

u?f(a)

u?a

u?f(a)

limsinf(x)?sina?limsinf(x)?sina?f(x)?a?limsinf(x)?sina?limf(x)?a

则x?a

x?a

x?a

f(x)?a x?a

x?a

=bcosa

f(x)?a

x?a

x?a

函数f(x)?

(A).1

(B).2

(C).3

1

ex

ex?1ln1?x

(ex?1)(x?2)

，则第二类间断点个数为（）

(D).4

【答案】C

【解析】本题考查的是第一类间断点与第二类间断点的定义，判断间断点及类型的一般步骤为：

找出无定义的点（无意义的点）；2.求该点的左右极限；3.按照间断点的定义判定。

第二类间断点的定义为f?(x0),f?(x0)至少有一个不存在，很显然f(x)不存在的点为

x??1,x?0,x?1,x?2。

在x??1处，lim

x??1?

f(x)???,lim

x??1?

f(x)???；

在x?0处，

lim

x?0?

f(x)?lim

x?0+

f(x)=?1；

2e

1

在x?1处，limex?1?0

1

，limex?1???，limf(x)?0，limf(x)???；

x?1?

在x?2处，lim

x?2?

x?1?

f(x)???，lim

x?2+

x?1?

f(x)?+?；

x?1+

所以，第二类间断点为3个。

对奇函数f(x)在(??,??)上有连续导数，则( )

??cosf(t)?f?(t)?dt是奇函数

x

0

0

??cosf(t)?f?(t)?dt是偶函数

x

0

0

?x?cosf?(t)?f(t)?dt是奇函数

00?x?cosf?(t)?f(t)?dt是偶函数

0

0

【答案】：A

【解析】f(x)

为奇函数，则其导数f?(x)

为偶函数，又cosx为偶函数，则

cosf(x)?cosf(?x)

，则cosf(x)为偶函数，故cosf(x)?f?(x)

为偶函数，以0为下限、被

积函数为偶函数的变限积分函数为奇函数。所以，本题选A;对于C和D选项，f?(x)为偶

函数，则cosf?(x)?cosf?(?x)为偶函数，f(x)为奇函数，则cosf?(x)?f(x)

既非奇函数又

非偶函数。

? ?

(4).已知幂级数?na(x?2)n的收敛区间为(?2,6)，则?a(x?1)2n的收敛区间为

n

n?1

n

n?1

(A).(-2,6)

(B).(-3,1)

(C).(-5,3)

(D).(-17,15)

【答案】B

a (x?1)2n?2 a

【解析】由比值法可知，幂级数收敛时，limn?1 ?limn?1(x?1)2?1

n?? a(x?1)2n

n??a

?则要求?a(x?2)2n的收敛区间，只需要求出lim

?

n n

an?

an?1an

n

n?1

n??

?

?

n而条件告诉我们幂级数?na(x?2)n的收敛区间为(?2,6)，即收敛半径为4

n

lim

n??

?lim

(n?

(n?1)an?1nan