专题05 二次函数最值问题分类训练（面积最值、周长最值、线段和的最值）（解析版） .docx

专题05二次函数最值问题分类训练

面积最值、周长最值、线段和的最值

【类型一面积最值】

1．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为4,0，与y轴交于C0,-4点，点

??

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

【答案】(1)y=

(2)P点的坐标为：2,-6，四边形ABPC的面积的最大值为18

【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；

（2）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．

【详解】（1）解：将B、C两点的坐标代入得，

16+4b+c=0c=-4

解得：b=-3c=-4

所以二次函数的表达式为：y=x

（2）解：如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，

??

Px,x2-3x-4，设直线

则d=-44k+d=0

解得：k=1d=-4

∴直线BC的解析式为：y=x-4，

则Q点的坐标为x,x-4；

当0=x

解得：x1=-1，

∴AO=1，AB=5，

S

=

=

=-2

=-2x-2

当x=2时，四边形ABPC的面积最大，

此时P点的坐标为：2,-6，四边形ABPC的面积的最大值为18．

【点睛】此题考查了二次函数综合应用，求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，求二次函数与坐标轴的交点坐标等，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．

2．如图1，已知二次函数y=ax2+32x+ca≠0的图象与y轴交于点A0,4，与x轴交于点B，C，点

(1)请直接写出二次函数y=ax

(2)判断△ABC的形状，并说明理由；

(3)如图2，若点N在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点

(4)若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标．

【答案】(1)y=-1

(2)△ABC是直角三角形．理由见解析；

(3)当△AMN面积最大时，N点坐标为3,0；

(4)点N的坐标分别为-8,0、8-45,0、8+45

【分析】（1）根据待定系数法即可求得；

（2）根据抛物线的解析式求得B的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB2=20，AC2

（3）设点N的坐标为n,0，则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，根据三角形相似对应边成比例求得MD=25n+2，然后根据S

（4）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线与x轴交于一个点，即可求得点N的坐标．

【详解】（1）∵二次函数y=ax2+32x+ca≠0的图象与y轴交于点A0,4，与x轴交于点

∴c=4

解得a=-1

∴抛物线表达式：y=-1

（2）解：△ABC是直角三角形．

令y=0，则-1

解得x1=8，

∴点B的坐标为-2,0，

由已知可得，在Rt△ABO中A

在Rt△AOC中A

又∵BC=OB+OC=2+8=10，

∴在△ABC中AB

∴△ABC是直角三角形．

（3）解：设点N的坐标为n,0，则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，

∴MD∥OA，

∴△BMD∽△BAO，

∴BM

∵MN∥AC，

∴BM

∴MD

∵OA=4，BC=10，BN=n+2，

∴MD=2

∵S

∴当△AMN面积最大时，N点坐标为3,0．

（4）解：∵A0,4，C

∴AC=4

∵当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形，

∴分三种情况：①AC=AN；②AC=CN；③AN=CN；

①当AC=AN时，作图如下：

∵AC=AN，AO⊥CN，

∴ON=OC=8，

∴此时点N的坐标为-8，

②当AC=CN时，作图如下：

则CN=AC=45

又∵C8,0

∴N的坐标为8-45,0

③当AN=CN时，作图如下：

设ON=x，则AN=CN=8-x，

在Rt△AON中，AO2+ON2=AN2

即42

解得：x=3，

所以此时N的坐标为3,0

综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为-8,0、8-45,0、8+45

【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，熟练掌握二次函数的知识点是本题解题的关键．

3．综合与探究

如图，抛物线y=-x2+bx+c