人教课标版高中数学选修1-1：《圆锥曲线章末总结》教案-新版.docVIP

人教课标版高中数学选修1-1：《圆锥曲线章末总结》教案-新版

圆锥曲线章末总结

一、知识梳理

1．思维导图

2．知识梳理

1.坐标法是研究圆锥曲线问题的基本方法，它是用代数的方法研究几何问题．学习本章还应深刻体会数形结合的思想，转化的思想，函数与方程的思想及待定系数法等重要的数学思想和方法．

2.本章介绍了研究圆锥曲线问题的基本思路，建立直角坐标系，设出点的坐标，根据条件列出等式，求出圆锥曲线方程，再通过曲线方程，研究曲线的几何性质．本章内容主要有两部分：一部分是求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，基本方法是利用定义或待定系数法来求；另一部分是研究椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，并利用它们的几何性质解决有关几何问题．

3.求轨迹方程的方法常用的有：直接法、定义法、代入法，要注意题目中的限制条件，特别是隐含条件的发掘.

4.直线与圆锥曲线的位置关系问题，通常用判别式法；要注意有关弦长问题中韦达定理的应用和中点弦的问题，需特别注意的是，直线平行于抛物线的轴时与抛物线只有一个交点，直线平行于双曲线的渐近线时与双曲线只有一个交

详解：如图易知以为直径的圆的圆心为O，半径为a，令分别是、的中点，由三角形中位线的性质得，，又根据双曲线的定义得，，从而有.

∴两圆的圆心距等于两圆半径之和，故以为直径的圆与以为直径的圆外切．

同理，运用双曲线的定义得，

∴两圆的圆心距等于两圆半径之差，故以为直径的圆与以为直径的圆内切．

例2已知，以为一个焦点作过的椭圆，求椭圆的另一个焦点的轨迹方程．

[分析]依据椭圆的定义，列出关系式，再将其坐标化即可．

详解：，又，

，故点的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线，又，

故点的轨迹方程是．

[点评]利用圆锥曲线的定义直接求出相关点的轨迹，是常考的题型.

题型2圆锥曲线的几何性质

圆锥曲线的几何性质是本章的重点，是高考命题的主要方向，有时也常常将两种曲线结合起来考查．

例3若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为()

A．B.

C．D．

解：A.

题型3定点、最值问题

例4已知抛物线上两个动点，且，求的中点到轴距离的最小值．

详解：如右图，分别过作准线的垂线，设垂足为交轴于点，连接.

由抛物线定义可知

，，∴.

又四边形为梯形，是中位线，

∴，∴

∴，

当且仅当，三点共线时取“＝”号

点拔：本题利用抛物线的定义，通过图形，借助梯形中位线定理，从而确定了最值，体现了“转化与化归”的数学思想，应深刻体会这一重要思想方法．

例5已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

详解：(1)由题意设椭圆的标准方程为，且

，∴，∴

(2)设，由，

得，

.

又，

所以.

∵以为直径的圆过椭圆的右顶点，

∴，即，

∴，

，

，

解得，且满足

当时，，直线过定点，与已知矛盾；

当时，，直线过定点.

综上可知，直线过定点，定点坐标为.

题型4直线与圆锥曲线位置关系

直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．

例6如图，已知某椭圆的焦点是，过点并垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为，且，椭圆上不同的两点满足条件：.

(1)求该椭圆的标准方程；

(2)设弦的垂直平分线的方程为，求的取值范围.

解：(1)由椭圆定义及条件知，,得,又,所以，故椭圆方程为

(2)解法一：由在椭圆上.

①②得

①

②

①-②得,

即

将代入上式，得：

即(当时也成立).

由点在弦的垂直平分线上，得,所以

由点在线段(B′与B关于x轴对称)的内部，得，

所以

解法二：因为弦的中点为，所以直线的方程为

③

将③代入椭圆方程,得

所以,解得.(当时也成立)

(以下同解法一).

点拔：1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.

2.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.

例7已知双曲线

=1\*GB2⑴过的直线交双曲线于