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2023-2024学年上海市崇明县大同中学高三数学第一学期期末质量检测试题
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题若,则,则下列说法正确的是()
A.命题是真命题
B.命题的逆命题是真命题
C.命题的否命题是“若,则”
D.命题的逆否命题是“若,则”
2.在条件下,目标函数的最大值为40,则的最小值是()
A. B. C. D.2
3.某高中高三(1)班为了冲刺高考,营造良好的学习氛围,向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上,小王,小董,小李各写了一幅书法作品,分别是:“入班即静”,“天道酬勤”,“细节决定成败”,为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁写的,班主任对三人进行了问话,得到回复如下:
小王说:“入班即静”是我写的;
小董说:“天道酬勤”不是小王写的,就是我写的;
小李说:“细节决定成败”不是我写的.
若三人的说法有且仅有一人是正确的,则“入班即静”的书写者是()
A.小王或小李 B.小王 C.小董 D.小李
4.2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中,甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示(以十位数字为茎,个位数字为叶).若甲队得分的中位数是86,乙队得分的平均数是88,则()
A.170 B.10 C.172 D.12
5.复数的共轭复数记作,已知复数对应复平面上的点,复数:满足.则等于()
A. B. C. D.
6.若集合,则=()
A. B. C. D.
7.已知满足,则()
A. B. C. D.
8.若集合,,则
A. B. C. D.
9.在我国传统文化“五行”中,有“金、木、水、火、土”五个物质类别,在五者之间,有一种“相生”的关系,具体是:金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个,这二者具有相生关系的概率是()
A.0.2 B.0.5 C.0.4 D.0.8
10.若复数是纯虚数,则实数的值为()
A.或 B. C. D.或
11.设集合则()
A. B. C. D.
12.已知全集,集合,,则阴影部分表示的集合是()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上任一点,且的最小值为,则该双曲线的离心率是__________.
14.已知半径为的圆周上有一定点,在圆周上等可能地任意取一点与点连接,则所得弦长介于与之间的概率为__________.
15.定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”.已知锐角三角形的三个点,,,在半径为的圆上,且,分别以各边为直径向外作三个半圆,这三个半圆和构成平面区域,则平面区域的“直径”的最大值是__________.
16.设复数满足,则_________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)选修4-5:不等式选讲
已知函数的最大值为3,其中.
(1)求的值;
(2)若,,,求证:
18.(12分)已知函数.
(1)解不等式;
(2)若,,,求证:.
19.(12分)已知函数.
(Ⅰ)当时,求函数在上的值域;
(Ⅱ)若函数在上单调递减,求实数的取值范围.
20.(12分)已知集合,,,将的所有子集任意排列,得到一个有序集合组,其中.记集合中元素的个数为,,,规定空集中元素的个数为.
当时,求的值;
利用数学归纳法证明:不论为何值,总存在有序集合组,满足任意,,都有.
21.(12分)已知椭圆:(),与轴负半轴交于,离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线:与椭圆交于,两点,连接,并延长交直线于,两点,已知,求证:直线恒过定点,并求出定点坐标.
22.(10分)已知矩阵的一个特征值为3,求另一个特征值及其对应的一个特征向量.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
解不等式,可判断A选项的正误;写出原命题的逆命题并判断其真假,可判断B选项的正误;利用原命题与否命题、逆否命题的关系可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.
【详解】
解不等式,解得,则命题为假命题,A选项错误;
命题的逆命题是“若,则”,该命题为真命题,B选项正确;
命题的否命题是“若,则”,C选项错误;
命题的逆否命题是“若,则”,D选项错误.
故选:B.
【点
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