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高考数学专题-数列求和

复习课：

数列求和

一、【知识梳理】

1．等差、等比数列的求和公式，公比含字母时一定要讨论．

2．错位相减法求和：如：已知成等差，成等比，求．

3．分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等

比数列，再求和．

4．合并求和：如：求的和．

5．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下

首尾若干项．

常见拆项：，，（理科）．

6．倒序相加法求和：如等差数列求和公式的推导．

7．其它求和法：归纳猜想法，奇偶法等．

二、【经典考题】

【1.公式求和】例1．（浙江）在公差为的等差数列中，已知，且

成等比数列．

（1）求；

（2）若，求．

【分析】第一问注意准确利用等差等比数列定义即可求解，第二

问要注意去绝对值时项的正负讨论．

【解答】（1）由已知得到：

（2）由（1）知，当时，①当时，②当时，所以，综上所述：

．

【点评】本题考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公

式、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力．

变式训练：

（重庆文）设数列满足：，．

（1）求的通项公式及前项和；

（2）已知是等差数列，为前项和，且，求．

【解答】

（1）由题设知是首项为，公比为的等比数列，．

（2），故．

【2.倒序相加法】例2．已知函数．

（1）证明：；

（2）若数列的通项公式为，求数列的前项和；

（3）设数列满足：，若（2）中的满足对任意不小于的任意正整

数恒成立，试求的最大值．

【分析】第（1）问，先利用指数的相关性质对化简，后证明左边

=右边即可；第（2）问，注意利用（1）中的结论，构造倒序求和；

第（3）问，由已知条件求出的最小值，将不等式转化为最值问题求解．

【解答】（1）

．

（2）由（1）知，，即，又两式相加得，即．

（3）由，知对任意的，则，即，所以．，即数列是单调递增数列．

关于递增，时，．

．

由题意知，即，解得，的最大值为．

【点评】解题时，对于某些前后具有对称性的数列，可以运用倒

序相加法求和．

变式训练：

已知函数．

（1）证明：；

（2）求的值．

【解答】（1）

（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，令，两式相加得：

所以．

【3.错位相减法】例3．（山东理)设等差数列的前项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列前项和为，且

(为常数)．令，求数列的前项和．

【分析】第（1）问利用等差数列通项公式及前项和公式列方程组

求解及即可；第（2）问先利用与关系求出，进而用乘公比错位相减法

求出．

【解答】（1）设等差数列的首项为，公差为，由得，解得，．

因此

．

（2）由题意知：，所以时，故，．

所以，则，两式相减得，整理得．

所以数列数列的前项和．

【点评】用错位相减法求和时，应注意：

（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数时的情形；

（2）在写出与的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便

下一步准确写出的表达式；

（3）利用错位相减法转化为等比数列求和时，若公比是参数（字

母），一般情况要先对参数加以讨论，主要分公比为和不等于两种情

况分别求和．

变式训练：

(山东文)设等差数列的前项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，求的前项和．

【解答】（1）同例3．（1）．

（2）由已知，当时，当时，结合知，．

又，两式相减得，．

【4.裂项相消法】例4．(广东)设各项均为正数的数列的前项和为，

满足，且构成等比数列．

（1）证明：；

（2）求数列