参考学习 中学课件线性代数 34 向量组的秩.ppt

第四节向量组的秩一、向量组的等价二、向量组的最大无关组与向量组的秩三、矩阵的秩与向量组的秩的关系四、向量组秩的重要结论..,,,:,,,:定义2121这两个能相互线性表示，则称量组与向若向量组称线性表示，则向量组组中的每个向量都能由若及设有两个向量组BAABBAsmbbbaaaLL向量组能由向量组线性表示向量组等价．BA使在数存量线性表示，即对每个向能由（和（若记,,,),,2,1().,,,),,,212121mjjjjsmkkksjbABbbbBALLLL===aaa一、向量组的等价mmjjjjkkkbaaa+++=L2211mj),,,21jjM=L21m（kkkaaa向量组B：b1,b2,.......,bt能由向量组A：a1,a2,……,as线性表示?方程AX=B有解?有矩阵K,使B=AK命题1定理1向量组B：b1,b2,.......,bt能由向量组A：a1,a2,……,as线性表示?R(A)=R(A,B).推论向量组B：b1,b2,.......,bt与向量组A：a1,a2,……,as等价?R(B)=R(A)=R(A,B).利用推论等价?R(B)=R(A)=R(A,B).A=(a1,a2),B=(b1,b2).由于R(B)=R(A)=R(A,B)=2.所以a1,a2,与b1,b2等价。证毕。命题2若矩阵A经过初等行(列)变换变成矩阵B，则矩阵A的行(列)向量组与矩阵B的行(列)向量组等价.二、最大（线性）无关（向量）组二、向量组的最大无关组１、定义则称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关向量组(简称最大无关组).最大无关组所含向量个数称为向量组的秩.说明:但任两个最大无关组中向量个数相等.即线性无关的向量组的秩=向量个数.定理2三、矩阵的秩与向量组秩的关系为求A的列向量组的秩只需将矩阵A用初等行变换化为行阶梯形矩阵B,B的非零行的行数即为A的列向量组的秩最大无关组的等价定义:(Ⅰ)(Ⅱ)定理1最大无关组与向量组本身等价。最大无关组的求法:(2)将矩阵A用初等行变换化为行阶梯形矩阵B,(1)将向量组a1,a2,…,ar构成矩阵A=(a1,a2,…,ar),(3)可找出B的非零行的首非零元所在的列,其对应于A所在的列向量就是一个最大无关组.注：AB则A中任意k个列向量与B中对应的k个列向量有相同的线性关系推论定理4定理3四、向量组秩的重要结论作业：P117-1217，8，22，23，34，35１．最大线性无关向量组的概念：最大性、线性无关性．２．矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩＝矩阵行向量组的秩３．关于向量组秩的一些结论４．求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换．四、小结定理2设有向量组A：a1,a2,……,as；B：b1,b2,.......,br。若向量组B线性无关，且向量组B能由向量组A线性表示，则r≤s.也就是说，若向量组B能由向量组A线性表示，且r>s,则向量组B线性相关。推论2两个线性无关向量组若等价，则它们必含相同个数的向量。推论1两个等价的向量组的最大无关组含相同个数的向量。即等价的向量组秩相等。推论3一个向量组的任意两个最大无关组所含向量个数相同。性质4最大无关组与向量组本身等价。定理2’若向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量组A的秩。定理2