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插值与数值积分课件2023REPORTING

插值方法数值积分积分应用误差分析高级方法实例分析目录CATALOGUE2023

PART01插值方法2023REPORTING

线性插值方法是基于两点间直线的插值方法。它假设两个已知数据点之间的函数为一条直线。定义通过构造一个线性函数y=mx+b，其中m为斜率，b为截距，使得该直线通过两个已知数据点。公式例如，假设有两个数据点(1,2)和(3,5)，则可以通过线性插值方法得到x=2.5时的y值，即y=1.5x+0.5，计算得到y=4。实例线性插值

公式通过构造一个抛物线函数y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为待定系数，使得该抛物线通过两个已知数据点。定义抛物线插值方法是一种使用抛物线函数进行插值的方法。它假设两个已知数据点之间的函数为一条抛物线。实例例如，假设有两个数据点(1,2)和(3,5)，则可以通过抛物线插值方法得到x=2时的y值，即y=0.5x^2+1.5x+0.5，计算得到y=4.5。抛物线插值

多项式插值方法是一种使用多项式函数进行插值的方法。它假设两个已知数据点之间的函数为一条多项式曲线。定义通过构造一个多项式函数y=p(x)，其中p(x)为待定系数多项式，使得该多项式曲线通过多个已知数据点。公式例如，假设有三个数据点(1,2),(2,3),(3,5)，则可以通过多项式插值方法得到x=2.5时的y值，即y=(x-1)(x-3)/2+4，计算得到y=4.25。实例多项式插值

PART02数值积分2023REPORTING

03矩形法的精度取决于划分的小矩形的数量，数量越多，精度越高。01矩形法是一种数值积分方法，它通过将积分区间划分为一系列小的矩形，然后计算这些矩形的面积之和来逼近积分值。02矩形法的优点是简单易行，但对于复杂函数可能存在较大的误差。矩形法

梯形法是一种数值积分方法，它通过将积分区间划分为一系列小的梯形，然后计算这些梯形的面积之和来逼近积分值。梯形法相对于矩形法能够更好地适应曲线的变化，但精度仍然有限。梯形法的精度取决于划分的小梯形的数量，数量越多，精度越高。010203梯形法

辛普森法是一种数值积分方法，它通过将积分区间划分为一系列小的等宽区间，然后计算这些区间的中点的函数值来逼近积分值。辛普森法的优点是简单易行，且对于某些函数类型具有较高的精度。辛普森法的精度取决于划分的小区间的数量，数量必须是偶数，数量越多，精度越高。辛普森法

PART03积分应用2023REPORTING

将所求区域分割为若干个矩形，分别计算每个矩形的面积，再求和得到总面积。矩形法梯形法辛普森法将所求区域分割为若干个梯形，分别计算每个梯形的面积，再求和得到总面积。将所求区域分割为若干个小三角形，分别计算每个三角形的面积，再求和得到总面积。030201面积计算

将所求区域分割为若干个棱柱，分别计算每个棱柱的体积，再求和得到总体积。棱柱法将所求区域分割为若干个棱锥，分别计算每个棱锥的体积，再求和得到总体积。棱锥法将所求区域分割为若干个小四面体，分别计算每个四面体的体积，再求和得到总体积。辛普森法体积计算

通过积分计算质点的运动轨迹，进而模拟物体的运动过程。质点运动通过积分计算刚体的转动轨迹，进而模拟物体的转动过程。刚体转动通过积分计算波的传播轨迹，进而模拟波的传播过程。波动传播物理模拟

PART04误差分析2023REPORTING

原因插值方法的选择、插值节点的设置、插值基函数的选取等都会影响插值误差。减小方法选择合适的插值方法、增加插值节点、选择具有良好逼近性质的基函数等。定义插值误差是指实际函数与插值函数之间的差异。插值误差

01积分误差是指数值积分结果与实际积分值之间的差异。定义02主要源于分点选择、求和公式近似、高阶项被舍弃等因素。原因03选择合适的分点、采用高阶求和公式、利用积分区间对称性等。减小方法积分误差

误差控制是指采取措施将误差控制在可接受的范围内。定义选择合适的算法、对输入数据进行校验、设置误差阈值、进行异常值处理等。策略如前述的插值误差和积分误差的减小方法，以及一些通用的误差控制方法，如回归分析、模型验证等。方法010203误差控制

PART05高级方法2023REPORTING

定义样条插值是一种数学方法，通过将多个多项式连接起来创建连续的插值函数。类型根据连接点的不同，样条插值可以分为三类：线性样条插值、二次样条插值和三次样条插值。应用样条插值在数值分析、计算机图形学等领域有广泛的应用，例如在计算机动画中创建连续的运动轨迹。样条插值

定义龙贝格积分是一种数值积分方法，用于计算一个函