相似三角形的性质典型例题3辅助线的作法.docx

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相似三角形的性质--添加辅助线的方法

二.与相似三角形有关的辅助线

（一）主要是掌握如何根据线段的比式作平辅助线

（二）其他辅助线的做法举

1： 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．

求证： BC2＝2CD·AC． A

DBC AC

D

分析：欲证BC2＝2CD·AC，只需证2CD

?BC

．但因为结论中

有“2，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进倍、分变

形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“2所放的位置 B C

同，证法也同．

证法一（构造2CD）：如图，在AC截取DE＝DC，

∵BD⊥AC于D，

∴BD是线段CE的垂直平分线， A

ED

E

D

又∵AB＝AC，

∴∠C=∠ABC．

∴△BCE∽△ACB．

BC AC BC AC

∴CE?BC， ∴2CD?BC B C

∴BC2＝2CD·AC．

证法二（构造2AC）：如图，在CA的延长线上截取AE＝AC，连结BE，

AD∵AB＝AC，

A

D

∴AB＝AC=AE．

∴∠EBC=90，又∵BD⊥AC．

∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90，

∴∠E=∠DBC，

∴△EBC∽△BDC

BC CE BC 2AC

∴CD?BC即CD? BC

∴BC2＝2CD·AC．

1

证法三（构造2BC）：如图，取BC的中点E，连结AE，则

1

EC=2BC．

又∵AB=AC，

∴AE⊥BC，∠ACE=∠C

∴∠AEC=∠BDC=90

∴△ACE∽△BCD．

B C

A

D

B E C

CE AC

? 即

BC

?AC

∴CD BC CD BC．

∴BC2＝2CD·AC．

1 1

证法四（构造2BC）：如图，取BC中点E，连结DE，则CE=2BC ．

∵BD⊥AC，∴BE=EC=EB， A

D∴∠EDC=∠C

D

又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，

∴△ABC∽△EDC．

BC AC BC AC

∴CD?

ECJ即CD?1 ．

BC

2

B E C

∴BC2＝2CD·AC．

说明：此题充分展示添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思要开阔．

已知梯形ABCD中，AD//BC，BC?3AD，E是腰AB上的一点，连结CE

如果CE?AB，AB?CD，BE?3AE，求?B的数；

设

?BCE

和四边形

AECD

的面积分别为S和

S，且2S

2 1

?3S

BE

AE2，试求 的值

AE

2

1设AE?k，则BE?3k

1

解法1 如图，延长BA、CD交于点F

AD//BC，BC?3AD， ?BF?3AF ?AF?2k，E为BF的中点又CE?BF BC?CF，又CF?BF ??BCF为等边三角形故?B?60?解法2 如图

作DF//AB分别交CE、CB于点G、F则CE?DF，得平四边形 ABFD

同解法1可证得?CDF为等边三角形故?B??1?60?

解法3 如图

作AF//EC交CD于G，交BC的延长线于F作GI//AB，分别交CE、BC于点H、I

则CE?GI，得矩形AEHG

BC BE

AF//CE ?

CF?

AE?3，

又BC?3AD ?CF?AD，故G为CD、AF的中点以下同解法1可得?CGI是等边三角形

故?B??1?60?解法4 如图，

作AF//CD，交BC于F，作FG//CE，交AB于G，得平四边形 AFCD，且FG?AB

读者可自证得 ?ABF是等边三角形，故?B?60?

解法5 如图

延长CE、DA交于点F，作AG//CD，分别交BC、CE于点G、H，得平四边形

AGCD

可证得A为FD的中点，则AH?2k，故?1?60?得?ABG为等边三角形，故?B?60?

解法6 如图（补形法），

读者可自证明 ?CDF是等边三角形，得?B??F?60?

（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等）

设S ?3S，则S ?2S

?BCE 四边形AECD

解法1（补形法）如图

补成平四边形 ABCF，连结AC，则