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第一部分 相似三角形模型分析大全
一、相似三角形判定的基本模型认识
(一)A字型、反A字型(斜A字型)
A A
D
D E E
B C B C
(平) (平)
(二)8字型、反8字型
(蝴蝶型)
(平) (平)
(三)母子型
A
A
D
D
C B C
垂直 垂直
(四)一线三等角型:
三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景
(五)一线三直角型:
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()双垂型:
DA
D
C
b二、相似三角形判定的变化模型
b
旋转型:由A字型旋转得到。
l l l
—+—=—
a b c
字型展
A
AEFGD B C E
A
E
F
G
共享性
一线三等角的变形
cEBA一线三直角的变形
c
E
B
A
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第二部分 相似三角形典型题讲解
母子型相似三角形
1:如图,梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD交于点O,BE∥CD交CA延长线于E.
求证:OC2
?OA?OE.
2:已知:如图,△ABC中,点E在中线AD上,?DEB??ABC.
求证:(1)DB2
?DE?DA;(2)?DCE??DAC.
B
D
E
A C
3:已知:如图,等腰△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,CG∥AB,BG分别交AD、AC于E、F.
求证:BE2
?EF?EG.
相关练习:
1、如图,已知AD为△ABC的角平分线,EF为AD的垂直平分线.求证:FD2
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?FB?FC.
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2、已知:AD是Rt△ABC中∠A的平分线,∠C=90,EF是AD的垂直平分线交AD于M,EF、BC的延长线交于一点N。
求证:(1)△AME∽△NMD; (2)ND2=NC·NB
3、已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90,CD⊥AB于D,E是AC上一点,CF⊥BE于F。求证:EB·DF=AE·DB
在?ABC中,AB=AC,高AD与BE交于H,EF?BC,垂足为F,延长AD到G,使DG=EF,M是AH的中点。求证:?GBM?90?
A
M
E
H
B D
F C
G
已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90,BC=2,AC=4,P是斜边AB上的一个动点,PD⊥AB,交边AC于点D(点D与点A、C重合),E是射线DC上一点,且∠EPD=∠A.设A、P两点的距离为x,△BEP的面积为y.
求证:AE=2PE;
求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
当△BEP与△ABC相似时,求△BEP的面积.
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双垂型
1、如图,在△ABC中,∠A=60,BD、CE分别是AC、AB上的高,求证:(1)△ABD∽△ACE;(2)△ADE∽
△ABC;(3)BC=2ED
A
E
D
B C
2、如图,已知锐角△ABC,AD、CE分别是BC、AB边上的高,△ABC和△BDE的面积分别是27和3,DE=6 2,求:点B到直线AC的距离。
A
E
B D C
共享型相似三角形
1、△ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,∠DAE=120?,已知BD=1,CE=3,,求等边三角形的边长.
A
D B C E
2、已知:如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠DAE=45.
求证:(1)△ABE∽△ACD; (2)BC2?2BE?CD.
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A
B D E C
一线三等角型相似三角形
1:如图,等边△ABC中,边长为6,D是BC上动点,∠EDF=60
求证:△BDE∽△CFD
当BD=1,FC=3时,求BE
A
E F
B D C
2:(1)在?ABC中,AB?AC?5,BC?8,点P、Q分别在射线CB、AC上(点P与点 C、点B重合),且保持?APQ??ABC.
①点 P在线段CB上(如图),且BP?6,求线段CQ的长;
② BP?x,CQ?y,求y与x之间的函数关系式,并写出函数的定义域;
A A AQ
B P C B
C
备用图
B C
备用图
正方形ABCD的边长为5(如下图),点P、Q分别在直.线.CB、 DC
D
上(点P与点 C、点B重合),且保持?APQ?90?.当CQ?1时, 求 出
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C
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