拓展04 全等三角形提高证明题含辅助线（六种类型）（原卷版）.docxVIP

拓展04全等三角形提高证明题含辅助线（六种类型）

【类型一】利用角平分线构造全等

1．如图，在△ABC中，AD是角平分线，E，F分别为AC，AB上的点，且∠AED＋∠AFD＝180°．

（1）求证：∠AFD＝∠CED；

（2）求证：DE＝DF．

2．如图，在ΔABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线交BC于D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD=DF．

（1）求证：AC=AE；

（2）求证：∠BAC+∠FDB=180°；

（3）若AB=9.5，AF=1.5，求线段BE的长，

3．如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD．

（1）求证：∠B与∠AHD互补；

（2）若∠B+2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明．

4．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．

求证：（1）AD=AE=EC．

（2）BA+BC=2BF．

【类型二】倍长中线

5．如图，AB=CD，E为BC的中点，∠BAC=∠BCA，求证：AD=2AE．

6．如图，已知ΔABC中，点M是BC边长的中点，过M作∠BAC的角平分线AD的平行线交AB于E，交CA的延长线于F，求证：（1）AE=AF.（2）BE=CF.

7．在△ABC中，∠ABC＝45°，AM⊥MB，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．

（1）如图1，点D在线段AM上，且DM＝CM．求证：△BDM≌△ACM；

（2）如图2，在（1）的条件下，点E是△ABC外一点，且满足EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且F为线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．

??

8．规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，回答下列问题：

(1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．

(2)取BD的中点P，连接OP，请证明AC=2OP．

【类型三】截长补短

9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，试说明：BC＝AB＋CD．

10．如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE+CD=AC．

??

11．在△ABC中，∠ABC=60°，点D、E分别在AC、BC上，连接BD、DE和AE；并且有AB=BE，∠AED=∠C．

（1）求∠CDE的度数；

（2）求证：AD+DE=BD．

12．（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD．

（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD．

（3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．

【类型四】直接连接

13．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC中点，过点D作DM⊥DN，分别交BA，AC延长线于点M、N，求证：DM=DN

14．△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC中点，E、F分别在AC、AB上，且DE⊥DF，试判断DE、DF的数量关系，并说明理由．

15．如图所示，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AE于点E，EF⊥AB于点F，EG⊥AC交AC延长线于点G．求证：BF＝CG．

16．如图，在ΔABC中，∠ABC=90°，AB=BC，CD平分∠ACB交AB于D点，过A作AE⊥CD交CD延长线于E点，交CB延长线于F点，取FC中点G，连接DG，过C作CH⊥AC交DG延长线于

（1）求证：AF=CD；

（2）求证：AC=CH+2BD.

【类型五】延长交于一点

17．如图，△ABC中，CD平分∠ACB，过点A作AD⊥CD于点D，点E是AB的中点，连接DE，若AC=20，BC=14，求DE的长．

??

18．已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠ABC的角平分线交AC于E，AD⊥BE于D，求证：AD=BE．

19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于D，交∠ABC的角平分线于E，过点E作EF⊥AE，交AC于点F，求证：AF+BD=AB

20．如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=45°，点D为AC中点，AE⊥BD交BC于点E，交BD于点F．求证：

??

(1)∠CAE=∠ABD；

(2)BD=AE+ED．

【类型六】半角模型

21．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＋∠BDC=180°．