专题1.5 直角三角形的边角关系章末八大题型总结（培优篇）（北师大版）（解析版）.docxVIP

专题1.5直角三角形的边角关系章末八大题型总结（培优篇）

【北师大版】

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【题型1利用设参数法求锐角三角函数值】 1

【题型2在网格中求锐角三角函数值】 5

【题型3特殊角的三角函数值的计算与应用】 9

【题型4锐角三角函数与平面直角坐标系的综合】 11

【题型5锐角三角函数与一元二次方程的综合应用】 18

【题型6灵活运用已知条件解直角三角形】 19

【题型7解双直角三角形】 22

【题型8解直角三角形与四边形的综合应用】 27

【题型1利用设参数法求锐角三角函数值】

【例1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期末）如图，AB=BC=AD，AD⊥BC于点E，AC⊥CD，则sin∠B=．

??

【答案】4

【分析】设AB=BC=AD=1，AE=x，则DE=1-x，根据已知条件得出∠DAC=∠DCE，根据真切的定义得出EC2=AE?DE=x1-x，进而在

【详解】解：设AB=BC=AD=1，AE=x，则DE=1-x

∵AD⊥BC，AC⊥CD，

∴∠D+∠DAC=90°,∠D+∠DCE=90°，

∴∠DAC=∠DCE，

∴tan∠DAC=

∴ECAE

∴EC

∴BE=1-EC=1-x

在Rt△ABE中，A

∴12

整理得，5x

解得：x=0或x=4

∴sin

故答案为：45

【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．

【变式1-1】（2023秋·广西贺州·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，BE=2，cosA=35，则菱形的周长为

【答案】20

【分析】根据菱形的性质可得AB=BC=CD=AD，结合cosA=AEAD=35，设

【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD，

∵DE⊥AB，

∴∠DEA=90°，

∴cosA=

设AE=3k，则AD=5k，

∴BE=5k-3k=2k=2，

∴k=1，

∴AD=5，

∴菱形的周长=4AD=4×5=20，

故答案为：20．

【点睛】本题考查的是菱形的性质，锐角三角函数的应用，熟记锐角的余弦的定义，并灵活应用是解本题的关键．

【变式1-2】（2023秋·山西运城·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，连接CD，过点D作DE⊥CD交BC于点E，若tanA=43，BE=7，则

??

【答案】15

【分析】由∠ACB=90°，tanA=43，可设AC=3x，BC=4x，由勾股定理得到AB=5x，由直角角三角形斜边上中线的性质得到

【详解】解：∵∠ACB=90°，tan

∴设AC=3x，

∴AB=A

∵D是AB的中点，

∴CD=BD=AD=1

∴∠DCB=∠DBC，

又DE⊥CD，

∴∠A=∠DEC，

∴tanA=

∴DE=15

∴CE=C

∵BE=7，

∴4x-25

解得x=8，

∴DE=15

故答案为：15．

【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角函数、直角三角形斜边上中线的性质，掌握三角函数，直角三角形中线的性质是解题的关键．

【变式1-3】（2023·山西太原·太原五中校考一模）如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，D、E分别在CA、CB上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为1

【答案】10

【分析】连接AF，过点F作FG⊥AB于G，根据正方形的性质得到AD=2，BE=3，根据勾股定理得到FG=1，BF=10，

【详解】解：连接AF，过点F作FG⊥AB于G，

∵四边形CDFE是边长为1的正方形，

∴CD=CE=DF=EF=1，

∵AC=3，

∴AD=2，

∴AB=A

设BG=x，

∴AG=5-x,

∵FG

∴5-5-x2=10-x

∴FG=B

∴sin∠FBA=

故答案为：1010

【点睛】本题考查了正方形的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．

【题型2在网格中求锐角三角函数值】

【例2】（2023·湖北省直辖县级单位·校联考模拟预测）如图是6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角(∠O)为60°，点A，B，C，D都在格点上，且线段AB，CD相交于点P，则tan∠BPD的值是(????

??

A．13 B．12 C．33

【答案】D

【分析】如图取格点E，连接EC、DE．设小菱形的边长为1．首先证明∠APC=∠ECD，再证明∠CDE=90°，根据tan∠APC=

【详解】解：如图取格点E，连接EC、DE．设小菱形的边长为1．

∵AC=BE,AC

∴四边形ACEB是平行四边形，

∴EC∥AB，

∴∠APC=∠ECD，

依题意∠O=60°，则△OCD是等边三角形，

则