定义域和值域具体习题.docVIP

函数，映射的概念和定义域，值域的求法

1．函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。

注意：〔1〕“y=f(x)〞是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)〞；

〔2〕函数符号“y=f(x)〞中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x。

2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

〔1〕解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：

①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围〔如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等〕；

②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比拟隐蔽，容易犯错误；

③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。

〔2〕求函数的值域是比拟困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。

①配方法〔将函数转化为二次函数〕；②判别式法〔将函数转化为二次方程〕；③不等式法〔运用不等式的各种性质〕；④函数法〔运用根本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等〕。

3．两个函数的相等：

函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法那么f。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法那么确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法那么为函数的两个根本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法那么都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。

4．区间〔1〕区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；〔2〕无穷区间；〔3〕区间的数轴表示。

5．映射的概念

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法那么f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：AB〞。

函数是建立在两个非空数集间的一种对应，假设将其中的条件“非空数集〞弱化为“任意两个非空集合〞，按照某种法那么可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。

注意：〔1〕这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法那么，可以用汉字表达。

〔2〕“都有唯一〞什么意思？

包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。

6．常用的函数表示法

〔1〕解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；

〔2〕列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；

〔3〕图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。

7．分段函数

假设一个函数的定义域分成了假设干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；

8．复合函数

假设y=f(u)，u=g(x),x?(a，b)，u?(m,n)，那么y=f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。

四．典例解析

题型1：函数概念

例1．〔1〕设函数

〔2〕〔2001上海理，1〕设函数f〔x〕＝，那么满足f〔x〕=的x值为。

解：〔1〕这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换，

=

=

〔2〕当x∈〔－∞，1，值域应为［，＋∞］，

当x∈〔1，＋∞〕时值域应为〔0，＋∞〕，

∴y＝，y∈〔0，＋∞〕，

∴此时x∈〔1，＋∞〕，

∴log81x＝，x＝81＝3。

点评：讨论了函数的解析式的一些常用的变换技巧〔赋值、变量代换、换元等等〕，这都是函数学习的常用根本功。

变式题：〔2006山东文2〕设〔〕

A．0B．1C

解：选项为C。

例2．〔2006安徽文理15〕

〔1〕函数对于任意实数满足条件，假设那么__________；

〔2〕函数对于任意实数满足条件，假设那么__________。

解：〔1〕由得，

所以，那么。

〔2〕由得，所以，那么。

点评：通过对抽象函数的限制条件，变量换元得到函数解析式，考察学生的逻辑思维能力。

题型二：判断两个函数是否相同

例3．试判断以下各组函数是否表示同一函数？

〔1〕f〔x〕=，g〔x〕=；

〔2〕f〔x〕=，g〔x〕=

〔3〕f〔x〕=，g〔x〕=〔〕2n－1〔n∈N*〕；

〔4〕f〔x〕=，g〔x〕=；

〔5〕f〔x〕=x2－2x－1，g〔t〕=t2－2t－1。