专题13.4 等边三角形的性质与判定【十大题型】（举一反三）（华东师大版）（原卷版）.docxVIP

专题13.4等边三角形的判定与性质【十大题型】

【华东师大版】

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【题型1利用等边三角形的性质求值】 1

【题型2利用等边三角形的性质证明线段或角度相等】 2

【题型3等边三角形的证明】 4

【题型4等边三角形在坐标系中的运用】 5

【题型5等边三角形中的折叠问题】 7

【题型6与等边三角形有关的规律问题】 8

【题型7等边三角形中的动态问题】 10

【题型8等边三角形中求最值】 11

【题型9等边三角形中的多结论问题】 13

【题型10确定等边三角形中的线段之间的关系】 14

【知识点等边三角形】

（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.

（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.

（3）等边三角形的判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形；

②三个角都相等的三角形是等边三角形；

③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.

【题型1利用等边三角形的性质求值】

【例1】（2023春·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期末）如图，已知等边三角形ABC中，BD=CE，AD与BE交于点P，则∠APE=°．

【变式1-1】（2023春·四川成都·八年级成都实外校考期末）已知：如图，点E是等边三角形ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，BE平分∠DBC．

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(1)求证：△DBE≌△CBE；

(2)求∠BDE的度数．

(3)若∠ABE=45°，试判断BD与

【变式1-2】（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图，△ABC为等边三角形，点D是BC边上异于B，C的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC边上的高线AM=2，则DE+DF=．

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【变式1-3】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第70中校考期末）如图，已知等边三角形ABC的边长为m，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，取PA=CQ，连接PQ，交AC于M，则EM的长为．

??

【题型2利用等边三角形的性质证明线段或角度相等】

【例2】（2023春·河南周口·八年级校考期中）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE=12BC，点D是边AC的中点，连接ED并延长交AB

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(1)求证：EF⊥AB；

(2)连接BD，求证：BD=DE．

【变式2-1】（2023春·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是高线，延长BC到E，使CE=AD．证明：BD=DE．

【变式2-2】（2023春·四川巴中·八年级统考期末）已知，将等边△ABC和一块含有30°角的直角三角板DEF(∠F=30°)如图1放置，点B与点E重合，点A恰好落在三角板的斜边DF上．

（1）利用图证明：EF=2AC；

（2）△ABC在EF所在的直线上向右平移，当AB、AC与三角板斜边的交点为G、H时，如图2．判断线段EB=AH是否成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

【变式2-3】（2023春·广西河池·八年级统考期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点D是BC边上一点．

(1)以AD为边构造等边△ADE（其中点D、E在直线AC两侧），连接CE，猜想CE与AB的位置关系，并证明你的结论；

(2)若过点C作CM∥AB，在CM上取一点F，连接AF、DF，使得∠ADF=60°，试猜想△ADF的形状，直接写出你的结论．

【题型3等边三角形的证明】

【例3】（2023春·河南周口·八年级校考期末）在△ABC中，AB=BC，∠ABC=60°，BD是AC边上的高，点E为直线BC上点，且CE=AD．

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(1)如图1，当点E在边BC上时，求证：△CDE为等边三角形；

(2)如图2，当点E在BC的延长线上时，求证：△BDE

【变式3-1】（2023春·贵州铜仁·八年级统考期中）如图，E是CD的中点，EC=EB，∠CDA=120°，DF∥BE，且DF平分∠CDA．求证：△BEC是等边三角形．补全下面的证明过程及理由．

证明：∵DF平分∠CDA（已知），

∴∠FDC=12∠___________

∵∠CDA=120°（已知），

∴∠FDC=__________°．

∵DF∥BE（已知），

∴∠FDC=∠__________（___________），

∴∠BEC=60°．

又∵EC=EB（已知），

∴△BCE是等边三角形（____________）．

【变式3-2】（2023春·甘肃天水·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC