抛物线知识点与性质大全.docx

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抛物线与方程

【知识讲解】1、定义

平面内，到定点的距离与到定直线距离相等的点的轨迹（定点不在定直线上）.其中定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线.

【注】若定点在直线上，则轨迹为过该点垂直于直线的一条直线.

2、抛物线的方程及其简单性质

标准方程

标准方程

y2?2px

x2?2py

y2?mx

x2?ny

焦点坐标

?p

?2,0?

?

?

?

?

?0,2?

p?

?m ?

? n?

?

?

?4,0?

?

?

?0,4?

?

?

准线方程

x??p

2

y??p

2

x??m

4

y??n

4

3、通径

过抛物线的焦点F作直线l?x轴，交抛物线y2?2px于A,B两点，弦长AB?2p，此时的弦长称为通径，此为所有的焦点弦中最短的弦.

4、焦点弦的性质

过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F的直线交抛物线于A?x,y

?,B?x,y

?两点，则

p p p2

1 1 2 2

①AF?x

，BF?x

? ；②x?x

?定值 ，y?y

?定值?p2；

1 2 2 2 1 2

4 1 2

③ 1 ? 1

?定值

2

；④xy

xy

??p?y

?y?.

|FA| |FB| p

12 21

2 1 2

过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F作倾斜角为?（斜率为k）的直线交抛物线于A,B

?（A在B上方）两点，则

?

①AF? p ；②BF? p

；③AB?2p?1?1?

2p .

上 1?cos? 下

1?cos? ? k2?

sin2?

??过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F作直线l

?

?

1

交抛物线于A,B两点，分别过A,B作准线

l的垂线，垂足分别为P,Q，设AB中点为M，过M作准线的垂线，垂足为N，则

yPANMQBFx①AN?BN；②PF

y

P

A

N

M

Q

BF

x

④PF?AN；⑤QF?BN；

⑥以AB为直径的圆与准线相切，切点即为N；

⑦以AF?BF?为直径的圆与y轴相切；

⑧PQ2

?4AFBF； S2

?PQF

?4S

?APF

S ；

?BQF

⑨S

四边形ABQP

? 2p2 .

sin3?

过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F作直线l

1

交抛物线于A,B两点，分别过A,B作准线

yPAHQOFxBl的垂线，垂足分别为P,Q，准线

y

P

A

H

Q

O

F

x

B

①?AHF??BHF；

②A,O,Q三点共线；

③B,O,P三点共线；

过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F作直线l

1

交抛物

12线于A,B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于E点，则

1

2

EF?

AB.

过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F作直线l

1

交抛物线于A,B两点，G为准线上的一动

点，且直线GA、GF、GB的斜率均存在，则直线GA、GF、GB的斜率成等差数列，即

k ?k

GA GB

?2k .

GF

5、过点M?m,0??m?0?的直线交抛物线y2?2px?p?0?于A?x,y

?,B?x,y

?两点，则

①x?x

OA?

OA?OB?m

?定值m2；②y?y

1 2

?定值?2pm；

1 1 2 2

③ ?2p；④m?p时， 1 ? 1 ?定值1.

|MA|2 |MB|2 p2

6、设点是抛物线 y2?2px?p?0?的焦点，P,P, ,P是抛物线上的n个不同的点，若

FP?FP

1 2

? ?FP

n

?0，则FP

1

?FP

2

1

? ?FP

n

2 n

?np.

【典型例题】

例1、已知动点M的坐标满足方程5 x2?y2?3x?4y?12，则动点M的轨迹是（ ）

A．椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆

【变式】已知动点M的坐标满足方程5

（ ）

?3x?4y?12，则动点M的轨迹是

?x?4?2