相似三角形的知识点梳理.docx

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相似三角形知识点大总结

知识点1 有关相似形的概念

形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.

如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．

知识点2 比例线段的相关概念

a m

如果选用同一单位量得两条线段a,b的长度分别为m,n，那么就说这两条线段的比是

a:b?m:n．注：在求线段比时，线段单位要统一。

b?n

，或写成

在四条线段a,b,c,d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称

b d

比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说 a是b,c,d的第四比例项，那么应得比例式为：c?a．②

a c

在比例式b

?d(a：b?c：d)中，a、d叫比例外项，b、c叫比例内项,a、c叫比例前项，b、d叫比例后项，

d叫第四比例项，如果b=c，即a：b?b：d那么b叫做a、d的比例中项，此时有b2

?ad。

）黄金分割：把线段 AB分成两条线段 AC,BC(AC?BC)，且使AC 是AB和BC的比例中项，即

5?1

5

AC2?AB?BC，叫做把线段 AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中 AC?

AB≈

2

AC BC

0.618AB．即 ?

? 简记为：长＝短＝

5?15?1

5?1

5?1

注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形

知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）

基本性质：

①a :b ? c :d ? ad ? bc ；②a:b?b:c?b2

?a?c．

注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如ad?bc，除

了可化为a:b?c:d，还可化为a:c?b:d，c:d?a:b，b:d?a:c，b:a?d:c，c:a?d:b，

d:c?b:a，d:b?c:a．

??a b

?

?c d，(交换内项)

?a c ?d c

?

更比性质(交换比例的内项或外项)： ?

?? ? ，(交换外项)

b d ?b a

?d

??c

b

?a．(同时交换内外项)

a c b d

反比性质(把比的前项、后项交换)：

b?d

?a?c．

a c

合、分比性质： ?

?a?b

?c?d．

b d b d

注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间

?b?a?d?c

?a发生同样和差变化比例仍成立．如： ?c?? a c 等等．

?

a

?b d ?a?b?c?d

?

a?a?b c?d

a

a等比性质：如果 ?c?e

a

???

m(b?d?f???n?0)，那么

a?c?e???m? ．

b d f n

注：

b?d?f???n b

①此性质的证明运用了“设k法”（即引入新的参数k）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．

③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：

a?c?

e?a?

?2c?

3e?

a?2c?3e

?a；其中b?2d?3f?0．

b d f b ?2d 3f b?2d?3f b

知识点4 比例线段的有关定理

三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成

比例.

?AD

?

由DE∥BC可得：

AE或BD

A

DE?EC或AD?AE

D

E

DB EC AD EA AB AC

注： B C

①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三．角．形．的．三．边．与原．三．角．形．三．边．对应成比例.

②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.

此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证