上海市黄浦区2023-2024学年高三上学期期中教学质量调研测试（一模）数学试题（含答案）.doc

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黄浦区2023学年度第一学期高三年级教学质量调研

数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分．其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．

1．已知集合，，则．

2．若函数为偶函数，则实数a的值为．

3．已知复数为虚数单位)，则满足的复数为．

4．若双曲线经过点，则此双曲线的离心率为．

5．已知向量，，则向量与夹角的余弦值为．

6．若棱长为2的正方体的所有顶点都在同一球面上，则该球的体积为．

7．某城市30天的空气质量指数如下：29，26，27，29，38，29，26，26，40，51，35，44，33，67，80，86，65，53，70，34，36，41，31，38，63，60，56，34，44，31．则这组数据的第75百分位数为．

8．在中，三个内角的对边长分别为，若，则的值为．

（第9题图）9．某校共有400名学生参加了趣味知识竞赛（满分：150分），且每位学生的竞赛成绩均不低于90分．将这400名学生的竞赛成绩分组如下：[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，得到的频率分布直方图如图所示，则这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为．

（第9题图）

10．若是一个三角形的内角，且函数在区间上是单调函数，则的取值范围是．

11．设是首项为3且公比为的等比数列，则满足不等式的最小正整数的值为．

12．若正三棱锥的底面边长为6，高为，动点P满足，则的最小值为．

二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．

13．设，则“”是“”的（）．

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

14．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是（）．

A． B． C． D．

15．若实数满足，则必有（）．

A． B． C． D．

16．在平面直角坐标系中，对于定点，记点集中距离原点最近的点为点，此最近距离为．当点在曲线上运动时，关于下列结论：①点的轨迹是一个圆；②的取值范围是．正确的判断是（）．

A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立

C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知等比数列是严格增数列，其第3、4、5项的乘积为1000，并且这三项分别乘以4、3、2后，所得三个数依次成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若对任意的正整数，数列的前项和，向量的模为，求数列的前n项和．

18．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

如图，平面平面，四边形是正方形，∥，，，．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的正切值．

（第

（第18题图）

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．

某公园的一个角形区域如图所示，其中．现拟用长度为100米的隔离档板（折线）与部分围墙（折线）围成一个花卉育苗区，要求满足．

（1）设，试用表示；

（2）为使花卉育苗区的面积最大，应如何设计？请说明理由．

（第

（第19题图）

20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

设a为实数，是以点为顶点、以点为焦点的抛物线，是以点A(0,a)为圆心、半径为1的圆位于y轴右侧且在直线下方的部分．

（1）求与的方程；

（2）若直线被所截得的线段的中点在上，求a的值；

（第20题图）（3）是否存在a，满足：在的上方，且有两条不同的切线被所截得的线段长相等？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

（第20题图）

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

设函数与的定