湖南省常德市汉寿县重点中学2023-2024学年高三上学期12月期中考试数学试题（含答案）.doc

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湖南省常德市汉寿县重点中学2024届高三

上学期期中考试数学试题卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，集合，则（????）

A． B．

C． D．

2．已知为虚数单位，且，则（????）

A．3 B． C．5 D．

3．在△ABC中，设p：＝＝；q：△ABC是正三角形，那么p是q的()

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知点是的重心，，，则（????）

A． B． C． D．

5．紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶、石瓢壶、潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的容积约为（????）

A．100cm3 B．200cm3 C．600cm3 D．800cm3

6．已知是定义在上的偶函数，且对任意，都有，当时，，则函数在区间上的反函数的值（）

A． B． C． D．

7．已知四边形是以和为底边的梯形，（），，（，是平面内两个非零且不共线向量），则（????）

A． B． C． D．6

8．如图，为正方体中与的交点，则在该正方体各个面上的射影可能是（????）

A．①②③④ B．①③ C．①④ D．②④

二?多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.

9．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（????）

A．若，则

B．若，则

C．若，则向量在上的投影向量为

D．若，则向量与的夹角为锐角

10．把函数的图象先向左平移个单位长度，然后将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再向上平移个单位长度后得到函数，则下列结论正确的是（????）

A．函数的解析式为，且是偶函数

B．函数图象关于直线对称

C．函数在区间上单调递减

D．函数在区间上的最小值为

11．记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”．下列说法正确的是（????）

A．若数列是等差数列，且公差，则数列是“和有界数列”

B．若数列是等差数列，且数列是“和有界数列”，则公差

C．若数列是等比数列，且公比满足，则数列是“和有界数列”

D．若数列是等比数列，且数列是“和有界数列”，则公比满足

12．若，则（）

A． B．

C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知，则的值是.

14．若函数的图象在点处的切线与直线垂直，则的值等于.

15．在中，的对边分别是，已知，且，则=．

16．如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的直线有条．

四?解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.

17．已知函数.

（1）当时，求函数在上的极值；

（2）证明：当时，.

18．在中，内角的对边长分别为，.

(1)若，求面积的最大值；

(2)若，在边的外侧取一点（点在外部），使得，，且四边形的面积为，求的大小.

19．设函数.已知存在使得同时满足下列三个条件中的两个：条件①：；条件②：的最大值为；条件③：是图象的一条对称轴.

(1)请写出满足的两个条件，并说明理由；

(2)若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.

20．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N，Q分别为CC1，BC，AC的中点，点P在线段A1B1上运动，且.

(1)证明：无论λ取何值，总有AM⊥平面PNQ；

(2)是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC的夹角为60°？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由.

21．已知数列{an}满足a1＝1，，其中n∈N*．

（1）设，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式．

（2）设，数列{cncn+2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得对于n∈N*，恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明．

22．已知两数．

（1）当时，求函数的极值点；

（2）当时，若恒成立，求的最大值．

参考答案

1．D

【分析】先根据基本不等式的解法求出集合，然后根据集合并集的运算法则求解.

【详解】解：，

故选：D．

2．C

【分析】依题意先对原式进行化简，可求得，利用共轭复数的定义可得，再利用复数的运算可求得答案.

【详解】由题意得：，则，

.

故选：C.

3．C

【分析】若p成立，利用正弦定理可