专题2.19相似三角形综合问题大题专题（培优强化30题）-2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍 【人教版】（解析版）.docx

2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】

专题2.19相似三角形综合问题大题专题（培优强化30题）

一．解答题（共30小题）

1．（2022秋?城阳区期中）如图，在△ABC中，D、E分别在AC、AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥ED于点F，∠EAF＝∠GAC．

（1）求证：△ADE∽△ABC．

（2）若AD＝5，AB＝7，求的值．

【分析】（1）根据等角的余角相等证明∠AED＝∠ACB，即可解决问题；

（2）由△ADE∽△ABC，推出，可得，再证明△EAF∽△CAG，可得，由此即可解决问题．

【解答】（1）证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，

∴∠AFE＝∠AGC＝90°，

∵∠EAF＝∠GAC，

∴∠AED＝∠ACB，

∵∠EAD＝∠BAC，

∴△ADE∽△ABC．

（2）解：由（1）可知：△ADE∽△ABC，

∴，

∵AD＝3，AB＝5，

∴，

由（1）可知：∠AFE＝∠AGC＝90°，

∠EAF＝∠GAC，

∴△EAF∽△CAG，

∴，

∴＝．

2．（2022秋?江北区期中）已知AB∥CD，AD、BC交于点O．

（1）试说明△AOB～△DOC；

（2）若AO＝2，DO＝3，CD＝5，求AB的长．

【分析】（1）由题意可直接证明△AOB∽△DOC；

（2）根据（1）的相似三角形得出的成比例线段，可求出AB的长．

【解答】（1）证明：∵AB∥CD，

∴△AOB∽△DOC；

（2）解：∵△AOB∽△DOC，

∴，

∴AB＝＝＝．

3．（2022秋?拱墅区校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，CE＝CD．

（1）求证：△ABD∽△ACE；

（2）若＝，AD＝14，求DE的长．

【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠CED＝∠CDE，根据三角形外角的性质得到∠B＝∠ACE，于是得到结论；

（2）根据△ABD∽△ACE得到＝，可求得AE的值，由DE＝AD﹣AE即可得到结论．

【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵CE＝CD，

∴∠CED＝∠CDE，

∵∠CDE＝∠B+∠BAD，∠CED＝∠ACE+∠CAD，

∴∠B＝∠ACE，

∴△ABD∽△ACE；

（2）解：∵△ABD∽△ACE，

∴＝，

∴，

∴，

∵AD＝14，

∴AE＝，

∴DE＝14﹣＝．

4．（2022秋?乐亭县期中）如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，P是边AB上一点，BP＝，D是边BC上一点（点D不与端点重合），作∠PDQ＝60°，DQ交边AC于点Q．

①△BDP∽△CQD；

②若CQ＝a，满足条件的点D有且只有一个，求a的值．

【分析】（1）由△ABC是等边三角形，得∠B＝∠C＝60°，而∠PDQ＝60°，可推导出∠BPD＝∠CDQ＝120°﹣∠BDP，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△BDP∽△CQD；

（2）设BD＝x，由△BDP∽△CQD，得＝，即2x2﹣8x+3a＝0，满足条件的点D有且只有一个，则一元二次方程2x2﹣8x+3a＝0有两个相等的实数根，再由一元二次方程根的判别式的值等于0列出关于a的方程，即可求出a的值．

【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠C＝60°，

∴∠BPD＝180°﹣∠B﹣∠BDP＝120°﹣∠BDP，

∵∠PDQ＝60°，

∴∠CDQ＝180°﹣∠PDQ﹣∠BDP＝120°﹣∠BDP，

∴∠BPD＝∠CDQ，

∴△BDP∽△CQD．

（2）解：设BD＝x，

∵BC＝AB＝4，BP＝，CQ＝a，

∴CD＝4﹣x，

∵△BDP∽△CQD，

∴＝，

∴＝，

整理得2x2﹣8x+3a＝0，

∵满足条件的点D有且只有一个，

∴一元二次方程2x2﹣8x+3a＝0有两个相等的实数根，

∴（﹣8）2﹣4×2×3a＝0，

解得a＝，

∴a的值是．

5．（2022秋?宝山区期中）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AD＝CD，E为AC的中点，联结BE并延长，交线段AD于点F．

（1）求证：△AEF∽△BAF；

（2）若CD＝3，AB＝5，求DF的长．

【分析】（1）根据平行线的性质可得∠CAD＝∠BAE，由直角三角形的性质可得BE＝AC＝AE＝CE，从而得∠EAF＝∠ABF，再根据相似三角形的判定可得结论；

（2）延长BF交CD的延长线于点G，由全等三角形的判定与性质可得DG＝CG﹣CD＝2，再根据相似三角形的判定与性质可得答案．

【解答】（1）证明：∵AB∥CD，

∴∠ACD＝∠BAE，

∵AD＝CD，

∴∠ACD＝∠CAD，

∴∠CAD＝∠BAE，

∵AB⊥BC，

∴∠ABC＝90°，

∵E为AC的中点，

∴BE＝AC＝AE＝CE，

∴∠ABF＝∠BAE，

∴∠CAD＝∠