专题2.23锐角三角函数的应用大题专练（培优强化30题）-2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍 【人教版】（解析版）.docx

2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】

专题2.23锐角三角函数的应用大题专练（培优强化30题）

一．解答题（共30小题）

1．（2022春?沙坪坝区校级月考）一路文明一路情，魅力轻轨轻松行，重庆轨道交通第三轮规划线路正在如火如荼地建设中．如图工程队在由南向北的方向上将轨道线路铺设到A处时，测得文史陈列馆C在A北偏西26°方向的600米处，再铺设276米到达B处．

（1）请通过计算确定C在B的什么方向上；

（2）文史陈列馆C周围若干米内需要建设文化广场，不能铺设轨道，工程队通过计算后发现，轨道线路铺设到B处时，只需沿北偏东15°的BE方向继续铺设，就能使轨道线路恰好避开文化广场，请计算文史陈列馆C周围至少多少米内不能铺设轨道．（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，，结果四舍五入精确到1米）．

【分析】（1）过点C作CF⊥BD于点F，连接BC，在Rt△ACF中，sin26°＝≈0.44，cos26°＝≈0.90，求出CF，AF的值，进而可得BF的值，即可得CF＝BF，则∠CBF＝45°，根据方向角的定义可得答案．

（2）过点C作CG⊥BE于点G，在Rt△BCF中，BF＝264米，∠CBF＝45°，可得BC＝BF＝米，由已知条件得∠DBE＝15°，则∠CBG＝60°，在Rt△BCG中，sin60°＝，求出CG的值，即可得出答案．

【解答】解：（1）过点C作CF⊥BD于点F，连接BC，

由题意得∠A＝26°，AC＝600米，AB＝276米，

在Rt△ACF中，sin26°＝≈0.44，cos26°＝≈0.90，

解得CF≈264，AF≈540，

∴BF＝AF﹣AB＝264（米），

∴CF＝BF，

∴∠CBF＝45°，

∴C在B的北偏西45°方向上．

（2）过点C作CG⊥BE于点G，

由（1）可知∠CBF＝45°，

在Rt△BCF中，BF＝264米，

则BC＝BF＝米，

∵∠DBE＝15°，

∴∠CBG＝60°，

在Rt△BCG中，sin60°＝，

解得CG＝≈323．

∴文史陈列馆C周围至少323米内不能铺设轨道．

2．（2022秋?香坊区校级月考）如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉市场D位于点A的北偏东45°方向，点B的北偏东30°方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°．求花卉市场D点到环城路AC之间的距离．

【分析】根据平行线的性质，方向角的定义以及三角形外角的性质求出∠ADB＝15°，再根据等角对等边，证得BD＝AB，然后根据直角三角形的性质即可求解．

【解答】解：如图，过D作DH⊥AB于H，

由题意得，∠EAD＝45°，∠FBD＝30°，

∴∠EAC＝∠EAD+∠DAC＝45°+15°＝60°．

∵AE∥BF∥CD，

∴∠FBC＝∠EAC＝60°．

∵∠FBD＝30°，

∴∠DBC＝∠FBC﹣∠FBD＝30°．

又∵∠DBC＝∠DAB+∠ADB，

∴∠ADB＝15°，

∴∠DAB＝∠ADB，∴BD＝AB＝2km．

∵∠DBC＝∠DAB+∠ADB＝30°，

∴DH＝BD＝1（km），

答：花卉市场D点到环城路AC之间的距离为1km．

3．（2022秋?沙坪坝区校级月考）公园大门A的正东方向原本有一条通往湖心小岛B的景观步道AB，但为了让市民朋友多角度欣赏公园景色，市政府决定新修一条景观步道通往湖心小岛B，新步道从A出发通向C地，C位于A的北偏西45°方向，AC＝800米，再从C地到达湖心小岛B，其中C位于B的北偏西60°方向，甲工程队以每天60米的速度进行单独施工，2天后，为了加快工程进度，乙工程队以每天90米的速度加入项目建设，直到两队起完成景观步道的修建．

（参考数据：≈1.4）

（1）求A、B两地的距离（结果保留根号）；

（2）新的景观步道能否在15天内完成？请说明理由．

【分析】（1）过点C作CH⊥AB交BA的延长线于H，根据题意得到∠CAH＝45°，解直角三角形即可得到结论；

（2）根据直角三角形的性质得到BC＝2CH＝800米，设甲、乙合作x天完成，列方程即可得到结论．

【解答】解：（1）过点C作CH⊥AB交BA的延长线于H，

则∠CAH＝45°，

∵∠AHC＝90°，

∴sin∠CAH＝，

∵AC＝800米，

∴AH＝CH＝400米，

∵∠CHB＝90°，∠B＝30°，

∴tanB＝，

∴BH＝400米，

∴AB＝BH﹣AH＝（400﹣400）米，

答：A、B两地的距离为（400﹣400）米；

（2）新的景观步道能在15天内完成，

理由：∵∠CBH＝30°，

∴BC＝2CH＝800米，

设甲、乙合作x天完成，

则60×2+（60+90）x＝800+800，