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基于小波神经网络的欧式期权定价模型

权重价格模型分为参数模型和非参数模型。在这里，黑相模型（b-s模型）是最广泛使用的参数模型。然而，根据研究，当前的市场往往并不符合b-s模型所要求的假设条件。例如，市场中真正指的素质价格的运动不是几何的布朗运动，而是零散地运动。凯吉亚认为，b-s模型所要求的波动率是固定的，这并不符合真正的市场经济。因此，科学家们对b-s模型进行了各种改进。参数模型减少或消除了b-s模型中的现有假设不符合真实市场的条件。然而，正如文献中的模型所示，由于一些不真实和与实际市场之间不协调的参数，它们的价格往往不是理想的。

为了避免这些参数化模型的不足,神经网络模型在期权定价模型中得到了广泛的关注和研究[13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23].Hutchison等最早将神经网络模型引入到欧式期权的定价模型中,使用RBF和BP神经网络,输入变量为S(标的资产价格)/X(行使价格),τ(到期日);输出变量为C(期权价格)/X;得出了神经网络模型要优于B-S模型.Yao在对亚洲期权市场Nikkei225的研究中使用BP神经网络,输入变量为S,X,T-t;输出变量为C.作者认为S已经包含了过去资产价格的波动信息,因此不需要加入新的输入变量.但是考虑到隐含波动率表明了市场参与者对未来金融市场波动的一种预期.而这一点仅仅通过标的资产价格S无法得到反映,另外相同到期日不同行使价格的期权的隐含波动率不同,不同种类的期权对期权价格的敏感程度也不同,两平期权的价格对波动率的敏感程度要比深度虚值期权价格对波动率的敏感程度要大的多.因此,它为真实的隐含波动率提供了更多的信息.研究表明:普通的BP神经网络在期权价格的边界处定价效果较差,由于即将到期的平值期权价格的尖锐的不连续性使得神经网络对它们的定价效果并不好,对于深度实值期权来说,由于缺乏实际的交易,使其定价曲面变得弯曲(而实际上在这个区域里,定价曲面应当是接近于线性).小波神经网络是近些年国际上新兴的一种数学建模分析方法,是结合最近发展的小波变换良好的时频局域化性质与传统神经网络的自学习功能而形成的,它是通过对小波分解进行平移和伸缩变换后而得到的级数,具有小波分解的一般逼近函数的性质,小波神经网络对信号的突变和光滑部分都具有很好的逼近能力,尤其对突变信号的逼近相比BP网络具有一定的优势.

基于以上考虑,本文将期权按钱性(moneyness)进行分类,提出一种新的加权的隐含波动率作为神经网络的输入变量,采用2种神经网络结构:BP神经网络和小波神经网络,最后对香港衍生品市场进行了实证研究.

1b-s模型

期权分为美式期权和欧式期权,其中美式期权是指可以在到期日前任何一天执行的期权,而欧式期权是指只能在到期日执行的期权,1997年的诺贝尔奖获得者FischerBlack和MyronScholes在20世纪70年代所推出的B-S模型是最著名的欧式期权定价模型:

C=S?(d1)-Xe-rτ?(d2)(1)

式中,?()为累计对数正态分布函数;d1=ln(S/X)+τ(r+σ2/2)σ√τd1=ln(S/X)+τ(r+σ2/2)στ√;r为无风险利率;

d2=d1-σ√τ=ln(S/X)+τ(r-σ2/2)σ√τ.d2=d1?στ√=ln(S/X)+τ(r?σ2/2)στ√.

B-S公式中的波动率σ为常数.本文中的σ采用对市场的历史波动率的估计.

2网络模型的建立

小波变换实质上是一种不同参数之间的积分变换,即

Wf(a,b)=∫+∞-∞+∞?∞f(t)h(a,b,t)dt(2)

式中,f(t)为具有紧支集的函数;h(a,b,t)=1√|a|hbasic(t-ba)h(a,b,t)=1|a|√hbasic(t?ba)称为小波,hbasic(t)称为基本小波或母小波,1√|a|1|a|√为归一化系数,a和b分别为h(a,b,t)的伸缩因子和平移因子,对于信号(或函数)f(t),其局部结构的分辨可以通过调节参数a和b,即调节小波基窗口的大小和位置来实现.

小波网络是基于小波分析而构造出的一类新型前馈网络,也可以看作是以小波函数为基底的一种新型函数联结神经网络.它以小波空间作为模式识别的特征空间,通过将小波基与信号向量的内积进行加权和来实现信号的特征提取,结合了小波变换的良好的时频局域化性质及传统神经网络自学习功能,因而具有良好的逼近与容错能力.

对于有m个输入的本文中的小波神经网络,网络的实际输出为

g=p∑k=1wkhg=∑k=1pwkhm∑i=1uikxi-bkak)(3)∑i=1muikxi?bkak)(3)

式中,wk和uik都为网络的权重系数;xi为输入变量;bk,ak分别为小波基的平移因子和伸缩因子;p为小波基的个数.

本文中小波神