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例谈三棱锥体积的转化

中学生数学?2011年5月上?第417期(高中)广东省广州市第一中学(510163)庞新军,fDC,/_BCD一90.AB

(1)求证:PCBC;(2)图1

求点A到平面PBC的距离.

解析本题主要考查直线与平面,平面与平面的位置关系,考查几何体的体积,考查空间想象能力,推理论证能力和运算能力.(1)证明略;

(2)方法一等体积法:连结AC.设点A到平面PBC的距离为.因为AB//DC,BCD一90.,所以ABC一90.AB一2,BC一1,从而得?ABC的面积S八—1.由PDJ-平面ABCD及PD一1,得三棱锥PAB(的体11

积一?s_?PD一?.因为PD___平面0JAlB(D,DC(二二平面ABCD,所以PD上DC.又PD—DC—l,所以PC一~/PD+DC一?2.由PCLBC,BC一1,得?PBC的面积SBf一11

.

由VAJJ』一VPABC,?S?Pfj(一hV—,厶J得h一?,故点A到平面PBC的距离等于~/.点评求点面距离的一般思路是过点向平面作垂线,确定垂足位置和表示距离的线段长,这样作解答难,运算繁.如果构造三棱锥,

把所求距离转化为三棱锥的高,通过三棱锥的体积求点面距离,可简化运算.

方法二如图2,分别取AB,PC的中点E,F,连DE,DF,则:易证DE//CB,DE//平面PBC,点D,E到平面PBC的距离相等.又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距所以DF平面PBC于

F.易知DF一,故点图2

A到平面PBC的距离等于?2.

点评利用E是AB的中点,把求点A到平面PBC的距离转化为求点E到平面PBC的距离,冉利用DE//平面PBC,把求点E到平面PBC的距离转化为求点D到平面PBC的距离.利用巧妙的转化,将复杂的图形简单化,是本题的一大亮点.

以体积为媒介,沟通有关元素问的联系,使问题等价转化,是转化的思想方法在立体几何中的重要体现.灵活利用题设条件,等效变换图形位置,常可以突破解题难点,探求出巧妙的解题方法,常见的图形位置变换有以下几种:

1.利用平行,转换顶点

在保持线与线,线与面,面与面的位置关系不变的情况下,将某一元素平移到某特殊位《蒌!

路

熬

直线BB.,CC上,故不论E,F在BB,CC上址:ZXSS.chinajourna1.net.cn?

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皇

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湛

中学生数学?2011年5月上?第417期(高中)任何位置,FA为定值.那么平移E与B重合,平移F与C重合时,三棱锥A一AEF就平移到三棱锥A一ABC所在位置.于是有,1

:

一

舢c一?s?ABc?AAl=.V—on..一o士

点评这是立体几何中常见的图形变式策略.解题时,若能依据题设条件,对图形进行合理的转换,使之变为某个我们所熟悉的或具有某些特殊性质的图形,然后借助于这些图形的有关性质,可以使许多问题化难为易.2.利用对称.转换顶点

对称点到平面的距离是相等的,这样可以进行顶点的转换,可以使许多问题化难为易.例2如图4,已知

四棱锥PABCD的底面

边长为4的正方形.PD

j一面ABCD,PD一6,E,

F分别为PB,AB的中

点,求三棱锥P-DEF的

体积.

图4

解析点P到面DEF的距离不易直接求出.若注意到E为PB中点,且P,B两点到面DEF的距离相等,于是利用对称性,原问题就可以转化为求三棱锥B-DEF的体积,再换顶点转化为求三棱锥E—BDF的体积就很顺利的使问题得以解决.VPDEF—VBDEF=VBBDF一1

3

X4X3=4.

点评灵活地利用图形间的对称关系,进行图形变式,常可以得到简捷,优美的解题方法.

3.利用共面,转换底面

运用转换的思想,使几何体形状发生变化,变复杂为简单,变一般几何体为特殊几何体,达到方便求解的目的.

例3(2010年四川理数18)如图5,已知正方体ABCD-ABCD的棱长为1,点M是棱AA的中点,点0是对角线BD的中点.求三棱锥M—OBC的体积.

M

DC

cM

图5图6

解析如图6,易知S??c—S?,且

AOBC和?OAD都在平面BCDA内,点0

到平面MAD距离h—1,0=VM—QA一11

V.MA佃一寺s??h一?

例4(1997年全国文,理)如图7,正方体ABCD-AB1C】D1中,E,F分别是BB1,CD的中点.设AA一2,求三棱锥F_AED的体积VFA?.

B

图7

GB

图8

分析如图8,作FG//AD,连结GA,GE,EF,正方体中