积分变换与场论拉普拉斯2 1 2.pdfVIP

引 言 拉氏变换在系统分析中的优势 1、将系统在时域内微分方程转换为复频域的代数方程， 降低求解难度。 2、将系统在时域内的卷积计算转换为复频域的乘法计算， 减少计算量。 3、在拉氏变换的基础上建立的运算法，为线性时不变电 路的分析计算提供了很大方便。 4、利用在复频域中引出的系统函数，可以方便地分析系 统的各种特性。 傅氏变换的局限 频域分析以虚指数信号ejωt为基本信号，任意信号可分解 为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。 物理意义清楚。但也有不足： 1 有些重要信号不存在 变换，如e2tu(t); 2 对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。 在这一章将通过把频域中的 变换推广到复频域来解 决这些问题。 2.1 变换的概念 1. 从 变换到 变换 若函数f (t)满足Fourier积分定理的条件，则有 变换 + F () F [f (t)] − f (t)e−j tdt −1 1 + j t f (t) F [F ()] 2 − F ()e d 几乎所有的实用函数φ(t)乘上u(t)再乘上e-t后得到的 φ(t)u(t) e-t傅氏变换都存在。  f (t) f (t)u(t)e− t O t O t  对函数(t)u(t)e− t(>0)取傅氏变换，可得 + G () − (t) u (t) e −t e−j t d t + + 0 f (t) e−(  +j )t d t 0 f (t) e−st d t 其中 s  + j , f (t) (t)u (t)  s −   若再设 F (s ) G    j  + 则得 F (s ) 0 f (t) e−st d t 关键在于引入衰减因子e- t ，可适用于 函数信号。 只能描述振荡频率，而 不仅能给出重复频率，还可以 s 表示振荡幅度的增长速率或衰 率。 定义 设函数f (t)当t0时有定义, 而且积分 + 0 f (t) e−st d t (s是一个复参量) 在s 的某一域内收敛, 则由此积分所确定的函数可写为 + F(s) 0 f (t)e−st dt (2.1) 称此式为函数f (t) 的 变换式(简称拉氏变换式), 记为 F(s)=L [f (t)] F(s)称为f (t) 的拉