期末复习专项训练4—解三角形大题（角平分线问题）-新教材人教A版高中数学必修第二册.docx

期末复习专项训练4—解三角形大题（角平分线问题） 1．的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）内角的角平分线交线段于点，且，，求． 解：（1）因为， 所以，解得，或（舍去）， 又因为， 所以． （2）因为，由角平分线定理可得， 设，则， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 所以，解得， 故边的长为4． 2．的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角； （2）若是角的平分线，，，求的长． 解：（1）由余弦定理知，， ， ，即， 由余弦定理知，， ， ． （2）由角分线定理知，， 设，则， 在中，由余弦定理知，， ， 解得， ，， ， 在中，由余弦定理知，， ． 3．在①，其中为角的平分线的长与交于点， ②， ③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．在中，内角，，的对边分别为，，，______． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 解：（1）方案一：选条件①． 由题意可得， ． 为的平分线，， ，即 又， ，即， ， ， ， ． 方案二：选条件②． 由已知结合正弦定理得， 由余弦定理得， ，． 方案三：选条件③． 由正弦定理得，， 又，， ， ， 易知， ，， ； （2） 又，所以． 4．请从“①；②．”两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答． 已知的内角，，的对边分别为，，，_____． （1）求； （2）设是的平分线，且面积为，求线段的长度． 解：（1）若选①，由于，可得， 可得， 因为， 所以，解得， 因为， 所以． 若选②，因为，可得， 解得，或， 又，，， 所以，可得，可得． （2）因为，且面积为， 又，是的内角平分线，可得， 由等面积法可得：， 所以，即， 解得． 5．已知中，，，为边上的点． （Ⅰ）若为的中点，且，求线段的长； （Ⅱ）若平分，求线段长的取值范围． 解：（Ⅰ）中，，，为边上的点， 由余弦定理得， 解得， 所以， 在中，， 所以． （Ⅱ）解法1：设，设， 因为， 所以， 所以，即， 因为，所以， 即的取值范围． 解法为的平分线，且，， ， 设，，则， 由余弦定理得，， 又由于，所以， ，， 在中，，即， ，，即． 解法3（平面向量解法） （Ⅰ）因为为的中点，所以， 所以． （Ⅱ）为的平分线，且，， ，是得三等分点， ， ， 显然， 所以． 6．的内角，，的对边分别为，，．已知． （1）求； （2）已知，，且边上有一点满足，求． 解：（1）因为， 由正弦定理得， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以，， 所以， 所以． （2）解法一：设的边上的高为，的边上的高为， 因为，，， 所以， 所以，是角的内角平分线，所以， 因为，可知， 所以， 所以． 解法二：设， 则， 因为，，， 所以， 所以， 所以， 因为，可知， 所以， 所以． 解法三：设，，则， 在中，由，及余弦定理得 因为，可知， 在中，， 即， 在中，， 即， 所以．