勾股定理的证明及简单应用(一).doc

勾股定理的证明及简单应用 知识要点 1、直角三角形中，直角所对的边叫做斜边，是直角三角形中最长的边。互相垂直的两条边叫做直角边。在我国古代，人们把短直角边叫勾，长直角边叫股，斜边叫弦。 abc 一般地，如图，∠A所对的边，用a表示。 a b c ∠C所对的边用c表示。当∠A=RT∠时，a表示斜边，当∠B=RT∠时， B表示斜边，∠C=RT∠时，c表示斜边。 勾股定理： 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 abc 即 a b c 特别地，勾股定理的运用，必须找准斜边，即直角所对的边， 当没有明确的直角时，斜边为三边中最长的边。 勾股定理的简单证明： 如图，已知△ABC中 ∠AC A C B D E 到E，使AE=BC，过E作CE的垂线DE交CE于点E，取DE=AC。连接AD,BD 求证： 4、基本勾股数 若a、b、c均为自然数，且无1以外的整数公因式当它们满足关系式时，我们称（a、b、c）为基本勾股数组。记一记： ， ，，，，，…均为基本勾股数组。写出下表的勾股数从中发现什么规律？ 3，4，5 5，12，13， 7，24，25 8，15，17 9，40，41 2倍6，8，10 2倍 3倍 3倍 15，36，39 27，120，123 4倍 4倍 28，96，100 5倍 5倍 40，75，85 N倍时，对于任何满足的a、b、c，都成立吗？试证明！ 5.解题技巧。 （1）利用勾股定理解题一定要找准斜边、直角边。 （2）作辅助线构造直角三角形解题。 （3）30°、45°锐角的直角三角形三边的比例关系。 （4）数形结合的实际问题，运用点到直线距离最短、两点间线段最短，空间图形展开成平面图形等知识点。 【典型例题】 例1．已知一个直角三角形的两直角边分别是6、8，那么斜边长是多少？ 例2．在△ABC中，∠C=90°， （1）若a=5,b=12，则c= 。 （2）若b=7,c=9，则a2= 。 （3）若c=10,a:b=3:4，则a= ，b= 。 （4）若a=b，c=m，则a2= ，S△ABC= 。 （5）若a=b=m，则c2= ，S△ABC= 。 例3．等腰三角形腰长为17cm,底边长为16cm,求底边上的高。 例4.如图Rt△ABC中 ∠C为直角，∠B=60°，CD垂直AB，若BC长为a，用a表示 AB,AC,CD,BD的长度，并且求出BC:AC:AB的值。若∠B=45°呢？ 例5．求下列直角三角形中未知边a,b的长度（如下图所示） 15b 15 b 16 12 24 26 6 a 【课堂练习】 1．在中，若的度数比是5：2：3，则是（ ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 2．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（ ） （1），，； （2），； （3），，； （4），，。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列各组数中不能构成直角三角形的一组数是（ ） A．5，12，13 B．7，24，25 C．8，15，17 D．4，6，9 4．一个直角三角形三边长为连续自然数，则这三个数为（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3 ，4，5 D．3.5，4.5，5.5 5．下列语句： （1）若△ABC中，，则△ABC不是直角三角形； （2）若△ABC为直角三角形，∠C=90°，则； （3）若△ABC中，，则∠C=90°； （4）勾股定理的逆定理是“若两边的平方和等于斜边的平方， 则此三角形为直角三角形”其中正确的个数是（ ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．三角形三边长分别为6，8，10，那么它最长边上的高为（ ） A．6 B．4.8 C．2.4 D．8 60°DCBA7.如图：在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠ 60° D C B A 8.如图，A、B是笔直公路同侧的两个村庄，且两个村庄到公路的距离分别为300和500，两村庄之间距离为，现要在公路上建一汽车停靠点，使两村到停靠点的距离之和最小。问最小值是多少？ B B A D C l ACDEB9.如图，已知△ABC中，AD、AE分别是BC边上的高和中线，AB=9，AC=7，BC=8 A C