2024版新教材高中数学第一章平面向量及其应用1.3向量的数乘导学案湘教版必修第二册.doc

1．3　向量的数乘 最新课程标准 学科核心素养 1.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及其运算规则，理解其几何意义． 2．理解两个平面向量共线的含义． 3．了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． 1.掌握平面向量的数乘运算．(数学运算) 2．理解共线向量的含义．(直观想象、逻辑推理) 3．了解平面向量的线性运算性质的几何意义．(直观想象) 教材要点 要点一　向量的实数倍 1．向量的数乘的定义 一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作________，称为a的________倍，它的长度|λa|＝________． 当λ≠0且a≠0时，λa的方向当 当λ＝0或a＝0时，λa＝0a＝0或λa＝λ0＝0. 求向量的实数倍的运算称为向量的数乘． 状元随笔　理解数乘向量应注意的问题 (1)向量数乘的结果依然是向量，要从长度与方向加以理解． (2)实数与向量可以相乘，但是不能相加、减．如λ＋a，λ－a均没有意义． 2．向量的数乘的几何意义 向量的数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小． 要点二　共线向量 1．当非零向量a，b方向相同或相反时，我们既称a，b________，也称a，b________，记作________． 2．规定：零向量与所有的向量平行． 3．两个向量平行?其中一个向量是另一个向量的实数倍． 即a∥b?存在实数λ，使得b＝________或a＝________． 状元随笔　向量共线定理的理解注意点及主要应用 (1)定理中a≠0→，b≠0→不能漏掉. 若a＝b＝0→，则实数λ可以是任意实数；若a＝0→，b≠0→，则不存在实数λ，使得b＝λa. (2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使t a＋s b＝0→，则a与b共线；若两个非零向量a与b不共线，且t a＋s b＝0→，则必有t＝s＝0. 要点三　向量的夹角 1．设a，b是两个非零向量，任选一点O，作OA＝a，OB＝b，则射线OA，OB所夹的最小非负角∠AOB称为向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 2．平面向量夹角的范围为[0，π]. 状元随笔　(1)两个向量的夹角是唯一确定的，且〈a，b〉＝〈 (2)当〈a，b〉＝0时，a，b方向相同；当〈a，b〉＝π时，a，b方向相反；当0< (3)当〈a，b〉＝π2时，a，b (4)0→与a的夹角是任意大小，可以规定为0，也可以规定为π2 要点四　单位向量 1．长度等于1个单位长度的向量． 2．对于任一非零向量a，都可得到与它方向相同的唯一单位向量e＝1aa 状元随笔　单位向量只定义了大小，方向可以任意，方向不同的两个单位向量不相等． 要点五　数乘运算律 一般地，设a，b是任意向量，x，y是任意实数，则如下运算律成立： (1)对实数加法的分配律：(x＋y)a＝xa＋ya. (2)对实数乘法的结合律：x(ya)＝(xy)a. (3)对向量加法的分配律：x(a＋b)＝xa＋xb. 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)实数λ与向量a的积还是向量．(　　) (2)向量－8a(a≠0)的模是向量4a的模的2倍．(　　) (3)若b＝λa(a≠0)，则a与b方向相同或相反．(　　) (4)aa表示向量a方向上的单位向量．(　　 2．化简：13122 A．2a－b B．2b－a C．b－aD．a－b 3．已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则3a－b＝(　　) A．4e2B．4e1 C．3e1＋6e2 D．8e2 4．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则与AB共线(平行)的向量有________． 题型 1　向量的线性运算 例1　(1)化简：123a+2 (2)若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，则m＝________，n＝________． 方法归纳 向量线性运算的基本方法 (1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． (2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算． 跟踪训练1　(1)12(2a＋8b)－(4a－2b)等于(　　 A．－3a－6b B．6b－3a C．2b－3aD．3a－2b (2)化简：25(a－b)－13(2a＋4b)＋215(2a＋13b) 题型 2　用已知向量表示相关向量 例2　如图所示，已知?ABCD的边BC，CD的中点分别为K，L，且AK＝e1，AL＝e2，试用e1，e2表示BC， 方法归纳 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直