2024版新教材高中数学第一章平面向量及其应用专项培优1章末复习课导学案湘教版必修第二册.doc

专项培优①章末复习课 考点一　平面向量的线性运算 1．进行向量的线性运算常见的方法有两种：定义法和坐标法 (1)在定义运算中，要会根据题意寻找或画出三角形或平行四边形，利用三角形法则或平行四边形法则，结合平面向量的基本定理求解． (2)若条件是给出坐标的向量，则直接进行运算．若向量在含有垂直关系的几何图形中给出，则可以建立坐标系利用坐标进行向量的运算，从而转化为实数的运算求解． 2．通过对平面向量线性运算的考查，提升学生的直观想象和数学运算素养． 例1　在平行四边形ABCD中，CE＝4EB，DF＝2 (1)用AB，AD表示 (2)若AC＝λAE＋μAF，求λ，μ； (3)若AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，求AE·AF. 跟踪训练1　(1)如图所示，正方形ABCD中，M是BC的中点，若AC＝λAM＋μBD，则λ＋μ等于(　　) A．43B． C．158 D． (2)已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)．若AP＝AB＋λAC (λ∈R)，试求λ为何值时： ①点P在第一、三象限的角平分线上； ②点P在第三象限内． 考点二　平面向量的数量积及其应用 角度1　求数量积 1．平面向量的数量积有两种表示形式a·b＝|a||b|cos θ和a·b＝x1x2＋y1y2.若题目中给出的是两向量的模与夹角，则利用a·b＝|a||b|cos θ，若已知或可求两向量的坐标，可利用a·b＝x1x2＋y1y2. 2．通过对数量积的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养． 例2　(1)已知向量a＝(9，6)，b＝(3，x)，若a∥b，则b·(a－b)＝(　　) A．－26 B．－25 C．25 D．26 (2)(多选)已知△ABC是边长为4的等边三角形，P为△ABC所在平面内一点，则PA·(PB+PC)的值可能为( A．－8 B．－6 C．－4 D．－2 角度2　求向量的模 1．向量的模不仅是研究问题的一个重要的量，而且是利用向量方法解决几何问题的一个交汇点．因此，我们必须熟练掌握求向量的模的基本方法．一般地，求向量的模主要是利用公式a2＝a2将它转化为向量的数量积问题，利用数量积的运算律和运算性质来解决，或利用公式|a|＝x 2．通过对向量的模考查，提升学生的数学运算素养． 例3　(1)(多选)已知平面向量a＝(2，m)，b＝(1，－2)，且|2a－b|＝|2a＋b|，则(　　) A．m＝2 B．m＝2 C．|a＋b|＝3 D．|a＋b|＝3 (2)已知向量a＝(λ＋1，2)，b＝(－2，2)，若|a－2b|＝|a＋2b|，则λ＝________． 角度3　求向量的夹角 求向量a，b的夹角θ的步骤：①求|a|，|b|，a·b；②cos θ＝a·bab(夹角余弦公式)；③结合θ的范围[0，π] 例4　(1)若向量p，q满足|p|＝8，|q|＝6，q·(q－p)＝12，则p和q的夹角为(　　) A．π6 B．π4 C．π3 (2)已知向量a＝(2，－1)，b＝(m，3)，若(a＋b)⊥a，则a，b的夹角为________． 跟踪训练2　(1)已知三角形ABC的边长分别为AB＝3，AC＝4，BC＝5，BC＝3BD，则AD·BC＝(　　) A．1 B．23 C．3 D．－ (2)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (3)设向量a与b的夹角为θ，且a＝(－2，1)，a＋2b＝(2，3)，则cos θ＝(　　) A．－35 B．35 C．55 考点三　正、余弦定理的应用 1．主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，判断三角形的形状、求三角形的面积，以及余弦定理、正弦定理的综合应用． 2．通过对正、余弦定理的应用的考查，提升学生逻辑推理和数学运算素养． 例5　在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2. (1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积； (2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 跟踪训练3　(1)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝a cos B＋b cos A，则△ABC的形状为(　　) A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 (2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sinB sin C. ①求A； ②若2a＋b＝2c，求sin C． 专项培优①　章末复习课 考点聚集·分类突破 例1　解析：(1)由向量的线性运算法则，可得AE＝AB+BE＝AB+ AF