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鲁棒与最优控制 由此，引出了如何设计一个合理的控制器，当存在不确定性因素的情况下，使系统仍保持良好鲁棒性的问题。鲁棒控制设计的主要思想是在使系统对不确定性的响应的最大值尽量小的前提下，以满足系统的性能指标。 由前面几章可知，最优控制规律的设计，要求必须能够得到系统的精确数学模型，否则，所谓的最优设计全部都是徒劳的。正因为在实际工程中，被控系统不确定性的存在，导致了人们对这一问题的重新认识。 11.1 数学基础知识 本节简要介绍本章内容所涉及到的数学基础知识。为简明起见，假定读者已经具备工科线性代数、矩阵理论和控制理论的基础知识。 在前面的线性代数和矩阵理论等数学课程中，我们已经知道了向量范数和矩阵范数的概念。实际上，矩阵可以看成是向量空间到向量空间的映射。从几何意义上讲，向量的范数表达的是向量的长度；而矩阵的范数则反映了在这种映射过程中，向量长度被放大或缩小的一种“增益”。返回子目录 因此，一个系统可以看成是从一个函数空间到另一个函数空间的映射，即算子。与向量和矩阵的情况类似，如果在函数空间引入范数的概念来表述信号在某种工程意义上的强度，以此来描述控制系统的性能，那么，系统作为算子时的范数就反映了系统在传递信号过程中的一种“增益”，它是描述系统性能的一个重要手段。 在控制系统中，经常要面临各种信号，这些信号通常可以表示为时域或者频域内的函数。而系统在这些信号激励下的响应，同样也可以表示为各种函数。 11.1.1 信号的范数1、时域信号 时域信号 可理解为从 到实数 的一个函数，设 是勒贝格可测函数，下面给出关于函数空间的一些定义。 对于正数 ，元素 为勒贝格可测函数，且满足的函数空间，称为 空间。其中 空间中，我们常用的函数空间有定义11-1：：： 其中， 表示真上确界。所谓函数在点集 上的真上确界是指它在 中除某个零测度集外的上确界。对于连续函数，其上确界就是真上确界。 在空间 中，所有对 除去测度为零的集合上函数的全体所构成的集合记为 ，它是 的一个闭空间。因为实际信号均满足 ，所以我们讨论的信号均属于 空间。需要说明的是：对于函数空间中的元素 可以是单个的函数，也可以是向量函数。 对于时域信号 ，我们常用的范数有：1-范数： 2-范数： -范数： 应当指出：2－范数的平方实际上是对信号能量的一种度量，而∞－范数则是对信号幅值上界的度量。因此， 中的信号属能量有限信号，如单位脉冲信号（幅值不受限）；而 中的信号则属于幅值有限信号，如单位阶跃信号（能量不受限）。可见， 和 以及 空间并不是完全等价的。 2、频域信号频域信号 可看成从 的函数，设 为勒贝格可测函数，则有如下定义。定义11-2 对于正数 ，元素 在上有定义，取值于复数域 的 为勒贝格可测函数，且满足的空间，称 空间。 常用的 空间有 对于频域信号 ，常用范数有2-范数：∞-范数：其中 是 的共轭转置。 由于实际中常遇到的频域信号都是 的（真）实有理函数，因此，我们把 和 中实有理函数的全体给出专门的记号，分别记作 和 。 由定义可知， 是在虚轴上无极点的真实有理函数（向量）的全体。 即： 对于线性算子 的范数 可定义 本书中所讨论的系统，若没有特别说明，均是线性时不变有限维因果系统。我们知道，对于一个系统的作用，实际上可看成对信号进行某种变换。因此，可以把系统看作为一种算子。关于算子，也就是指定义在两个函数空间之间的某种映射关系。这里我们主要把系统作为线性算子来处理。11.1.2 系统的范数 由该定义可知，系统的范数实际上是单变量增益（信号放大倍数）概念在多变量系统中的推广。 有了算子范数的概念，就可以把 和 扩展为有理函数矩阵空间，相应的实有理函数矩阵空间仍分别记为