高等代数[北大版]第1章习题参考答案解析.docx

WORD WORD 格式可编辑 专业技术资料整理 专业技术 资料整理 第一章 多项式 用 g(x) 除 f (x) ，求商q(x) 与余式r(x) ： 1） f (x) ? x 3 ? 3x 2 ? x ? 1, g(x) ? 3x 2 ? 2x ? 1； 2） f (x) ? x 4 ? 2x ? 5, g(x) ? x 2 ? x ? 2 。 1 7 26 2 解 1）由带余除法，可得q(x) ? x ? , r(x) ? ? x ? ； 3 9 9 9 2）同理可得q(x) ? x 2 ? x ? 1, r(x) ? ?5x ? 7 。 m, p, q 适合什么条件时，有 x 2 ? mx ? 1 | x 3 px ? q ， x 2 ? mx ? 1 | x 4 px 2 q 。 解 1）由假设，所得余式为 0，即( p ? 1 ? m 2 )x ? (q ? m) ? 0 ， ? p ? 1 ? m2 ? 0 所以当? 时有 x 2 ? q ? m ? 0 ? mx ? 1 | x 3 px ? q 。 ?m(2 ? p ? m2 ) ? 0 2）类似可得 ? ，于是当 m ? 0 时，代入（ 2）可得 p ? q ? 1 ；而当 ?q ? 1 ? p ? m2 ? 0 2 ? p ? m 2 ? 0 时，代入（2）可得q ? 1 。 ? m ? 0 ? q ? 1 综上所诉，当? 或? 时，皆有 x 2 ? mx ? 1 | x 4 px 2 q 。 ? p ? q ? 1 ? p ? m2 ? 2 求 g(x) 除 f (x) 的商q(x) 与余式： 1） f (x) ? 2x5 ? 5x3 ? 8x, g(x) ? x ? 3 ； 2） f (x) ? x3 ? x2 ? x, g (x) ? x ?1? 2i 。 q(x) ? 2x4 ? 6x3 ?13x2 ? 39x ?109 解 1） ； r(x) ? ?327 q(x) ? x2 ? 2ix ? (5 ? 2i) 2） r(x) ? ?9 ? 8i 。 把 f (x) 表示成 x ? x0 的方幂和，即表成 c ? c 0 1 (x ? x 0 ) ? c 2 (x ? x 0 )2 ? ... ? c n (x ? x 0 )n ? 的形式： 1） f (x) ? x5 , x ? 1； 0 2） f (x) ? x4 ? 2x2 ? 3, x ? ?2 ； 0 3） f (x) ? x4 ? 2ix3 ? (1? i)x2 ? 3x ? 7 ? i, x ? ?i 。 0 解 1）由综合除法，可得 f (x) ? 1? 5(x ?1) ?10( x ?1)2 ?10( x ?1)3 ? 5(x ?1)4 ? (x ?1)5 ； 2）由综合除法，可得x4 ? 2x2 ? 3 ? 11 ? 24( x ? 2) ? 22( x ? 2)2 ? 8(x ? 2)3 ? (x ? 2)4 ； 3） 由综合除法，可得 x4 ? 2ix3 ? (1? i)x2 ? 3x ? (7 ? i) ? (7 ? 5i) ? 5(x ? i) ? (?1? i)(x ? i)2 ? 2i(x ? i)3 ? (x ? i)4 。5．求 f (x) 与 g(x) 的最大公因式： 1） f (x) ? x4 ? x3 ? 3x2 ? 4x ?1, g (x) ? x3 ? x2 ? x ?1； 2） f (x) ? x4 ? 4x3 ?1, g (x) ? x3 ? 3x2 ?1； 3） f (x) ? x4 ?10 x2 ?1, g (x) ? x4 ? 4 2x3 ? 6x2 ? 4 2x ?1 。解 1） ( f (x), g(x)) ? x ?1 ； 2） ( f (x), g(x)) ? 1； 3） ( f (x), g (x)) ? x2 ? 2 2x ?1。 6．求u(x), v(x) 使u(x) f (x) ? v(x)g(x) ? ( f (x), g(x)) 。 1） f (x) ? x4 ? 2x3 ? x2 ? 4x ? 2, g (x) ? x4 ? x3 ? x2 ? 2x ? 2 ； 2） f (x) ? 4x4 ? 2x3 ?16x2 ? 5x ? 9, g (x) ? 2x3 ? x2 ? 5x ? 4 ； 3） f (x) ? x4 ? x3 ? 4x2 ? 4x ? 1, g (x) ? x2 ? x ?1 。 解 1）因为( f (x), g (x)) ? x2 ? 2 ? r 2 (x) ? f (x) ? q (x)g(x) ? r (x) ?再由? ? ?g(x) q 1 1