3.3.2　抛物线的简单几何性质 第1课时　导学案 解析版 -高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）.docxVIP

3.3.2　抛物线的简单几何性质 第1课时　 导学案 学习目标 1.了解抛物线的简单几何性质,培养数学抽象的核心素养． 2.能利用性质解决与抛物线有关的问题． 3.能利用方程与数形结合思想解决焦点弦问题,培养数学运算的核心素养. 重点难点 重点：抛物线的标准方程及其推导过程 难点：求抛物线标准方程 课前预习 自主梳理 知识点一 抛物线的几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 开口方向 向右 向左 向上 向下 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0,0) 离心率 e＝1 1.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析, 其共同点: (1)顶点都为原点; (2)对称轴为坐标轴; (3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的14 (4)焦点到准线的距离均为p. 其不同点:(1)对称轴为x轴时,方程的右端为±2px,左端为y2;对称轴为y轴时,方程的右端为±2py,左端为x2; 2.只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程. 【思考】怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向? 【提示】开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号. 知识点二 抛物线的焦点弦长 斜率为k的直线l经过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，你能想到哪些求弦长|AB|的方法？ 【提示】法一：利用两点间的距离公式； 法二：利用弦长公式|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|； 法三：|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝x1＋x2＋p. ◆焦点弦 直线过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋eq \f(p,2)，|BF|＝x2＋eq \f(p,2)，故|AB|＝x1＋x2＋p. 知识点三 直线与抛物线的位置关系 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p0)的交点个数取决于关于x的方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝2px))的解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数．当k≠0时，若Δ0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，则直线与抛物线有一个公共点；若Δ0，则直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．　 自主检测 1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)抛物线没有渐近线．(　　) (2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为p.(　　) (3)若一条直线与抛物线只有一个公共点，则二者一定相切．(　　) (4)抛物线y2＝2px(p＞0)的图象上任意一点的横坐标的取值范围是x≥0.(　　) 【答案】(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 【详解】 (1)正确．渐近线是圆锥曲线中双曲线的特有性质，抛物线没有渐近线． (2)错误．过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为2p，此弦长也称为通径长． (3)错误．当直线与抛物线的对称轴平行时，也只有一个公共点，此时不相切． (4)正确．因为p＞0，y2≥0，所以x≥0. 2.下列命题中正确的是（????） A．抛物线 的焦点坐标为 ． B．抛物线 的准线方程为 x =?1． C．抛物线 的图象关于 x 轴对称． D．抛物线 的图象关于 y 轴对称． 【答案】C 【分析】根据抛物线的性质逐项分析可得答案. 【详解】抛物线 的焦点坐标为 ，故A错误； 抛物线 的准线方程为，故B错误； 抛物线 的图象关于 x 轴对称，故C正确，D错误； 故选：C. 3.（多选题）以轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（????） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由题意设、，根据已知可得，即可得抛物线方程. 【详解】由题意，若，则焦点为，故，所以，即； 若，则焦点为，故，所以，即； 综上，，则. 故选：AB 4.已知抛物线上一点，则点A到抛物线焦点的距离为 . 【答案】 【分析】先根据抛物线的方程求出准线方程，进而利用点A的纵坐标求得到点A准线的距离，进而根据抛物线的定义求得答案. 【详解