复变函数--全套课件.ppt

1. 复变函数的导数与微分 3. 奇点 6.初等解析函数 第三章 1.有向曲线 2.积分计算 4.原函数的定义 5. 闭路变形原理 6.柯西积分公式 7. 高阶导数公式 8.调和函数和共轭调和函数 共轭调和函数 三、典型例题 三、典型例题 第四章1.复数列 2.复数项级数 2) 复级数的收敛与发散 非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数. 3.复变函数项级数 4. 幂级数 2)收敛定理 此时, 级数在复平面内除原点外处处发散. 4)收敛半径的求法 5)幂级数的运算与性质 (2)幂级数的代换(复合)运算 5. 泰勒级数 2)常见函数的泰勒展开式 6. 洛朗级数 2)将函数展为洛朗级数的方法 三、典型例题 洛朗级数在积分上的应用 第五章1. 孤立奇点的概念与分类 i) 可去奇点 iii)本性奇点 3)函数的零点与极点的关系 2. 留数 2)留数的计算方法 例2 解 例3 解 上式两边逐项求导, 例4 解 例1 解 本例中圆环域的中心 z = 0 既是各负幂项的奇点, 例2 内是处处解析的, 试把 f (z) 在这些区域内展开成洛朗级数. 解 o x y 1 1 2 o x y 由 且仍有 2 o x y 由 此时 仍有 例3 解 1）定义 如果函数 在 不解析, 但 在 的某一去心邻域 内处处解析, 则称 为 的孤立奇点. 孤立奇点 奇点 2）孤立奇点的分类 依据 在其孤立奇点 的去心邻域 内的洛朗级数的情况分为三类: i) 可去奇点; ii) 极点; iii) 本性奇点. 定义 如果洛朗级数中不含 的负幂项, 那末 孤立奇点 称为 的可去奇点. ii) 极点 定义 如果洛朗级数中只有有限多个 的 负幂项, 其中关于 的最高幂为 即 级极点. 那末孤立奇点 称为函数 的 或写成 得一个解析函数 这个函数可以化为 例1 解: 利用柯西—黎曼方程, 因而得到解析函数 因而得到解析函数 记作 表达式 称为复数项无穷级数. 其最前面 项的和 称为级数的部分和. 部分和 1) 定义 充要条件 必要条件 3)复级数的绝对收敛与条件收敛 如果 收敛, 那末称级数 为绝对收敛. 绝对收敛 条件收敛 称为这级数的部分和. 级数最前面 项的和 其中各项在区域 D内有定义.表达式 称为复变函数项级数, 记作 1) 在复变函数项级数中, 形如 的级数称为幂级数. ----阿贝尔Abel定理 如果级数 在 收敛, 那末对 的 级数必绝对收敛, 如果 在 级数发散, 那末对满足 的 级数必发散. 满足 (3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收 敛的正实数. 3)收敛圆与收敛半径 对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种: 对所有的正实数都收敛.即级数在复平面内处 处收敛. (2) 对所有的正实数除 外都发散. 在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出 一般的结论, 要对具体级数进行具体分析. 注意 . . 收敛圆 收敛半径 方法1: 比值法 方法2: 根值法 那末收敛半径 那末收敛半径 如果当 时, 又设在 内 解析且满足 那末当 时, 复变幂级数在收敛圆内的解析性 设幂级数 的收敛半径 为 那末 是收敛圆 内的解析函数 . 它的和函数 即 (1) (2) 在收敛圆 内的导数可将其幂 级数逐项求导得到, 即 (3) 在收敛圆内可以逐项积分, 即 或 其中 泰勒级数 1)定理 设 在区域 内解析, 为 内的一 为 到 的边界上各点的最短距离, 那末 点, 时, 成立, 当 定理 C为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线. 为洛朗系数. 1) 函数 在圆环域内的洛朗展开式 在圆环域内的洛朗(Laurent)级数. 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的, 这就是 f (z) 的洛朗级数. 根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可 用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 . (2) 间接展开法 (1) 直接展开法 而 解 例 解 级数满足必要条件, 但 例 判别级数的敛散性. 解 解 由正项级数的比值判别法知 绝对收敛. 例 判别级数的敛散性. 例 故原级数收敛, 且为绝对收敛. 因为 所以由正项级数的比值判别法知: 解 故原级数收敛. 所以原级数非绝对收敛. 例 解 例 求下列幂级数的收敛半径 解 说明: 例1 解 任何在 D 内解析的函数,它的实部和虚部都是 D 内的调和函数. 定理 区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数. 解:(1)