求数列通项公式大总结.doc

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法 同学们要熟练掌握，加油！相信你能行！ 1.形如型 （1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=. （2）若f(n)为n的函数时，用累加法. 方法如下： 由 得： 时，， ， 所以各式相加得 即：. 为了书写方便，也可用横式来写： 时，， =. 例 1. （2003天津文） 已知数列｛an｝满足,证明 证明：由已知得： = . 例2.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式.答案： 例3.已知数列满足，，求此数列的通项公式.答案： 评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. = 1 \* GB3 ①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; = 2 \* GB3 ②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和; = 3 \* GB3 ③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; = 4 \* GB3 ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。 2.形如型 （1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此数列为等比且=. （2）当f(n)为n的函数时,用累乘法. 例题：求数列的通项公式。 解答：由已知当， N-1个式子累乘，得到当n=1，也满足，所以 3.形如型 （1）若（d为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论; （2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，，分奇偶项来分求通项. 例1. 数列{}满足,,求数列{an}的通项公式. 分析 1：构造 转化为型 解法1：令 则. 时, 各式相加: 当n为偶数时，. 此时 当n为奇数时， 此时,所以. 故 解法2： 时，， 两式相减得：. 构成以,为首项，以2为公差的等差数列; 构成以,为首项，以2为公差的等差数列 . 评注：结果要还原成n的表达式. 例2.（2005江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足 Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式. 解：方法一：因为 以下同例1，略 答案 4.形如型 （1）若(p为常数)，则数列{}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论; （2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项. 例1. 已知数列,求此数列的通项公式. 注：同上例类似，略. 5．形如,其中)型 （1）若c=1时，数列{}为等差数列; （2）若d=0时，数列{}为等比数列; （3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 方法如下：设,求出A 例1．已知数列中，求通项. 分析：待定系数法构造构造新的等比数列。 解：由设,解出A=-1, 则所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列 所以,即 . 6.形如型 (1)若(其中k,b是常数，且)，则后面待定系数法也用一次函数。 例题. 在数列中，,求通项. 解：原递推式可化为 比较系数可得：k=-6,b=9,上式即为 所以是一个等比数列，首项,公比为. 即： 故. (2)若(其中q是常数，且n0,1) = 1 \* GB3 ①若p=1时，即：，累加即可 = 2 \* GB3 ②若时，即：，后面的待定系数法也用指数形式。 求通项方法有以下三种方向： = 1 \* roman i. 两边同除以. 即： ,令，则, 然后类型1，累加求通项. = 2 \* roman ii.两边同除以 . 即： , 令,则可化为.然后转化为类型5来解， = 3 \* roman iii.待定系数法： 设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项. 例1.（2003天津理） 设为常数，且． 证明对任意≥1，； 证法2：由得 . 设，则b. 即：, 所以是以为首项，为公比的等比数列. 则=, 即：, 故 . 评注：本题的关键是两边同除以3，进而转化为类型5，构造出新的等比数列，从而将求一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题. 证法2：用待定系数法（注意设法哦！） 设, 即:, 比较系数得：,所以 所以, 所以数列是公比为－2，首项为的等比数列. 即 . 规律： 类型共同的规律为：两边同除以，累加求和，只是求和的方法不同.请同学们练习求。 7.形如型 （1）即 取倒数法. 例1. 已知数列中，，，求通项公式。 解：取倒数： 8.形如(其中p,q为常数)型 （1）当p+q=1时