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专题 08 三角恒等变换问题
【高考真题】
π
1．(2022·新高考Ⅱ)若 sin(α＋β) ＋cos(α＋β) ＝2 2cos(α＋ )sinβ，则( )
4
A ．tan(α－β) ＝1 B ．tan(α＋β) ＝1 C ．tan(α－β) ＝－1 D ．tan(α＋β) ＝－1
1．答案 C 解析 由已知得，sinαcosβ＋cosαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝2(cosα－sinα)sinβ，即sinαcosβ
＋cosαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝0 ，即sin(α－β) ＋cos(α－β) ＝0 ．所以tan(α－β) ＝－1．故选C ．
π
2 ．(2022·浙江)若 3sinα－sinβ＝ 10，α＋β＝ ，则 sinα＝__________ ，cos2β＝__________ ．
2
3 10 4 π 3 10 10
2 ．答案 解析 α＋β＝ ，∴sinβ＝cosα，即3sinα－cosα＝ 10，即 10( sinα－ cosα)
10 5 2 10 10
10 3 10 π π
＝ 10，令sinθ＝ ，cosθ＝ ，则 10sin(α－θ) ＝ 10，∴α－θ＝ ＋2kπ ，k∈Z，即α＝θ＋ ＋2kπ ，
10 10 2 2
π 3 10 4 3 10 4
2 2
∴sinα＝sin(θ＋ ＋2kπ) ＝cosθ＝ ，则cos2β＝2cos β－1＝2sin α－1＝ ．故答案为 与 ．
2 10 5 10 5
【知识总结】
1．同角三角函数的基本关系
2 2 2
(1)平方关系：sin α＋cos α＝1⇒sin α＝± 1－cos α.
sin α π
(2)商的关系：cos α＝tan αα≠kπ ＋2k∈Z.
2 ．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
2kπ ＋
π π
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